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MATHÉMATIQUES Licence 1 l CAPES TOUT LE COURS EN FICHES MATHÉMATIQUES Licence 1

MATHÉMATIQUES Licence 1 l CAPES TOUT LE COURS EN FICHES MATHÉMATIQUES Licence 1 l CAPES TOUT LE COURS EN FICHES Claire David Maître de conférences à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris Sami Mustapha Professeur à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris Illustration de couverture : © delabo - Fotolia.com © Dunod, 2014 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-059992-9 Table des matières Avant-propos X Comment utiliser cet ouvrage ? XII Partie 1 Calculus Nombres réels 1 Fiche 1 Les ensembles de nombres 2 Fiche 2 Intervalles, voisinages, bornes 6 Limites 8 Fiche 3 Limite d’une fonction en un point 8 Fiche 4 Limite d’une fonction en +∞ou −∞ 12 Fiche 5 Propriétés des limites – Opérations sur les limites 14 Fiche 6 Notations de Landau 16 Fonctions numériques 18 Fiche 7 Domaine de déﬁnition d’une fonction, graphe 18 Focus La construction de l’ensemble des réels : les coupures de Dedekind 21 Fiche 8 Comment déﬁnir une fonction ? 22 Fiche 9 Majorations et minorations 24 Fiche 10 Fonctions monotones 26 Fiche 11 Parité, imparité 28 Fiche 12 Symétries 30 Fiche 13 Fonctions périodiques 32 Fonctions usuelles 33 Fiche 14 Fonctions puissances entières 33 Fiche 15 Fonctions polynômes et fonction valeur absolue 35 Focus John Napier et les tables logarithmiques 38 Fiche 16 La fonction logarithme népérien 39 Fiche 17 La fonction exponentielle 41 Fiche 18 Fonctions puissances « non entières » 43 Focus Leibniz et la fonction exponentielle 44 Fiche 19 Fonctions circulaires 45 Fiche 20 Fonctions hyperboliques 47 Focus L’origine de la trigonométrie 49 Continuité 51 Fiche 21 Continuité d’une fonction en un point 51 Fiche 22 Fonctions continues sur un intervalle 55 Dérivabilité 58 Fiche 23 Dérivabilité en un point 58 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. v Fiche 24 Dérivabilité sur un intervalle 61 Fiche 25 Dérivées successives 65 Fiche 26 Théorème des accroissements ﬁnis et théorème de Rolle 67 Fiche 27 Formule de Taylor-Lagrange 71 Fonctions réciproques 72 Fiche 28 Fonctions réciproques 72 Fiche 29 Les fonctions trigonométriques inverses 75 Fiche 30 Les fonctions hyperboliques inverses 79 Développements limités 81 Fiche 31 Développements limités 81 Fiche 32 Formule de Taylor-Young 84 Fiche 33 Développements limités usuels 89 Fiche 34 Opérations algébriques et composition des développements limités 92 Développements asymptotiques 95 Fiche 35 Développements asymptotiques 95 Convexité 96 Fiche 36 Convexité 96 Équations différentielles linéaires du 1er ordre 100 Fiche 37 Équations différentielles linéaires du 1er ordre homogènes 100 Fiche 38 Équations différentielles linéaires du 1er ordre avec second membre 103 Fonctions de plusieurs variables 111 Fiche 39 Topologie 111 Fiche 40 Fonctions de plusieurs variables 117 Fiche 41 Les systèmes de coordonnées usuelles 119 Fiche 42 Limites, continuité et dérivation 121 Exercices 129 Corrigés 133 Partie 2 Algèbre Le plan complexe – Les nombres complexes 161 Focus Les nombres complexes 162 Fiche 43 Le corps des nombres complexes 164 Fiche 44 Représentation géométrique des nombres complexes 167 Fiche 45 Inversion des nombres complexes 170 Fiche 46 Propriétés fondamentales des nombres complexes 172 Fiche 47 Complément : les polynômes de Tchebychev 174 Fiche 48 Racines ni` emes de l’unité, racines ni` emes complexes 177 Fiche 49 Factorisation des polynômes dans le corps C 180 Fiche 50 Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples 185 vi Table des matières Fiche 51 Transformations du plan : translations, homothéties 196 Fiche 52 Transformations du plan : rotations 198 Fiche 53 Transformations du plan : similitudes 200 Focus Transformations complexes, fractales, et représentations de la nature 204 Matrices 206 Fiche 54 Matrices de taille 2 × 2 206 Fiche 55 Déterminant de matrices de taille 2 × 2 208 Fiche 56 Matrices de taille 3 × 3 210 Fiche 57 Déterminant de matrices de taille 3 × 3 213 Fiche 58 Matrices de taille m × n 216 Fiche 59 Opérations sur les matrices 218 Fiche 60 Matrices remarquables 220 Fiche 61 Introduction aux déterminants de matrices de taille n × n 224 Fiche 62 Inversion des matrices carrées 226 Focus L’origine des matrices 230 Focus Les matrices et leurs applications 232 Fiche 63 Systèmes linéaires 234 Fiche 64 Vecteurs 238 Fiche 65 Barycentres 242 Fiche 66 Droites, plans 246 Fiche 67 Produit scalaire 249 Focus Produit scalaire, espaces fonctionnels et calcul numérique 253 Fiche 68 Produit vectoriel 254 Fiche 69 Aires et volumes 256 Focus Géométrie euclidienne – ou non ? Encore des matrices ! 258 Transformations linéaires du plan 260 Fiche 70 Bases et transformations linéaires du plan 260 Fiche 71 Changement de base en dimension 2, et déterminant d’une application linéaire 264 Fiche 72 Conjugaison – Matrices semblables de taille 2 × 2 266 Fiche 73 Opérateurs orthogonaux en dimension 2 268 Fiche 74 Rotations vectorielles du plan 270 Transformations linéaires de l’espace 273 Fiche 75 Bases de l’espace R3 273 Fiche 76 Transformations linéaires de l’espace R3 274 Fiche 77 Changement de base en dimension 3 278 Fiche 78 Conjugaison – Matrices semblables de taille 3 × 3 280 Fiche 79 Opérateurs orthogonaux de l’espace R3 282 Fiche 80 Rotations vectorielles de l’espace R3 284 L’espace Rn 286 Fiche 81 Vecteurs en dimension n, n ⩾2 286 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. vii Fiche 82 Espace engendré par une famille de vecteurs – Sous-espaces vectoriels de Rn 288 Fiche 83 Transformations linéaires de l’espace Rn 291 Fiche 84 Changement de base 295 Fiche 85 Conjugaison – Matrices semblables de taille n × n 297 Fiche 86 Réduction des matrices carrées 299 Focus Groupe spécial orthogonal et cristallographie 303 Focus Diagonalisation – La toupie de Lagrange (et de Michèle Audin) 305 Espaces vectoriels 306 Fiche 87 Les espaces vectoriels 306 Fiche 88 Sous-espaces vectoriels 310 Fiche 89 Somme de sous-espaces vectoriels 312 Fiche 90 Projecteurs, symétries 313 Exercices 315 Corrigés 323 Partie 3 Analyse Suites 367 Fiche 91 Qu’est-ce qu’une suite ? L’espace des suites et opérations sur les suites 368 Fiche 92 Les différents types de suites 371 Focus Suites arithmético-géométriques et ﬁnance 376 Fiche 93 Étude d’une suite 377 Fiche 94 Majorants, minorants d’une suite réelle – Croissance et décroissance 380 Fiche 95 Techniques d’étude des suites réelles 382 Fiche 96 Convergence 384 Fiche 97 Convergence des suites monotones 387 Fiche 98 Opérations sur les limites de suites 389 Fiche 99 Convergence des suites homographiques réelles 392 Fiche 100 Suites extraites 397 Fiche 101 Suites de Cauchy 399 Fiche 102 Comparaison des suites réelles 401 Focus Suites et systèmes dynamiques – L’attracteur de Hénon 405 Intégrales 406 Fiche 103 Qu’est-ce qu’une intégrale ? 406 Fiche 104 Intégrale d’une fonction en escaliers 408 Fiche 105 Intégrale d’une fonction continue par morceaux 413 Fiche 106 Calcul intégral 419 Fiche 107 Primitives de fractions rationnelles 425 Fiche 108 Calcul approché d’intégrales 427 viii Table des matières Focus Intégrale de Riemann vs intégrale de Lebesgue 434 Exercices 436 Corrigés 442 Annexes Formulaire de trigonométrie 470 Dérivées usuelles 472 Dérivées des fonctions réciproques usuelles 473 Primitives usuelles 474 Limites usuelles des fonctions puissances 475 Rang d’une matrice 476 Bibliographie 477 Index 479 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. ix Avant-propos Cet ouvrage est destiné aux étudiants du cycle L1 des ﬁlières universitaires scienti- ﬁques, ou des classes préparatoires. Il se base sur nos cours donnés en première année de Licence à l’UPMC (université Pierre et Marie Curie). Face aux demandes croissantes de nos étudiants, qui recherchaient un ouvrage de réfé- rence complet mais abordable, ainsi que des exercices d’application corrigés, nous nous sommes lancés dans la conception de ce livre qui, nous l’espérons, sera un outil utile pour les générations d’étudiants à venir. Cet ouvrage est donc le fruit d’un compromis : dans ce volume condensé, nous avons essayé de donner suﬃsamment d’éléments recouvrant l’ensemble des mathématiques de première année. Cet ouvrage correspond aussi à l’arrivée des nouveaux programmes universitaires et des classes préparatoires. Pour mieux assurer la jonction avec les ma- thématiques enseignées au lycée, nous avons opté, pour la première partie d’analyse, relative à l’étude des fonctions, à une présentation de type « Calculus », inspirée de l’esprit des « textbooks » anglo-saxons, qui permet d’aborder plus facilement le reste du programme, plus « classique », sur les suites et le calcul intégral. Pour l’algèbre, la présentation reprend celle de l’ouvrage Calcul Vectoriel (Collection Sciences Sup), en allant un peu plus loin : Rn, réduction, espaces vectoriels. Malgré tout le soin apporté à la rédaction, nous demandons l’indulgence du lecteur pour les éventuelles imperfections qui pourraient subsister; qu’il n’hésite pas à nous les signaler. Claire David Claire.David@upmc.fr Sami Mustapha sam@math.jussieu.fr x Avant-propos Remerciements Nous remercions vivement toutes les personnes dont la relecture et les remarques ont contribué à améliorer la version initiale du manuscrit : les membres du comité de lecture, pour leur relecture extrêmement minutieuse et leurs remarques très pertinentes ; • Sylvie Benzoni, Université Claude Bernard Lyon 1, Institut Camille Jordan. • Laurent Di Menza, Université de Reims, Laboratoire de Mathématiques de Reims (LMR). • Jean-Pierre Escoﬁer, Université de Rennes, Institut Mathématique de Rennes. • Sandrine Gachet, Professeur de uploads/Litterature/ mathematiques-tout-le-cours-en-fiche-licence-amp-capes.pdf