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Par Dr. Ralph W.P. MASENGE African Virtual university Université Virtuelle Afri

Par Dr. Ralph W.P. MASENGE African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana Méthodes numériques Université Virtuelle Africaine 1 Note Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ License (abréviation « cc-by »), Version 2.5. Université Virtuelle Africaine 2 I. Méthodes numériques_ _______________________________________3 II. Formation préalable requise____________________________________3 III. Temps requis_______________________________________________3 IV. Matériel didactique___________________________________________3 V. Justification du module_ _______________________________________3 VI. Contenu_ __________________________________________________4 6.1 Vue d’ensemble_ _________________________________________4 6.2 Grandes lignes___________________________________________5 6.3 Représentation graphique_ __________________________________6 VII. Objectifs généraux_ __________________________________________7 VIII. Objectifs spécifiques des activités d’apprentissage_ __________________8 IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage_ ______________________9 X. Activités d’apprentissage_ ____________________________________16 XI. Liste des concepts-clés (glossaire)_ ____________________________113 XII. Liste des lectures obligatoires_ _______________________________119 XIII. Liste des ressources multimédia_ _____________________________120 XIV. Synthèse du module________________________________________122 XV. Évaluation sommative_ ______________________________________123 XVI. Références bibliographiques_ _________________________________138 XVII. Auteur du module__________________________________________139 Table des matières Université Virtuelle Africaine 3 I. Méthodes numériques Par docteur Ralph W.P.Masenge II. Formation préalable requise Calcul 2 III. Temps requis Ce module nécessite 120 heures d’études. IV. Matériel didactique Les élèves doivent avoir accès aux lectures principales dont il sera question plus loin. L’accès à ces lectures se fait à partir d’un ordinateur connecté à Internet. Les élèves doivent également avoir la possibilité d’installer le logiciel wxMaxima et doivent pouvoir l’utiliser pour mettre en pratique les concepts algébriques. V. Justification du module La caractéristique clé des mathématiques est qu’elles peuvent être appliquées à la résolution de problèmes. L’histoire de cette matière a démontré que la force motrice qui a contribué à son développement est basée sur la recherche de solutions aux pro- blèmes en géométrie plane, en mécanique céleste et en navigation. Malheureusement, les formules mathématiques (modèles) de la plupart des problèmes en sciences et en génie sont, en général, difficiles à résoudre de façon analytique, soit parce que les solutions analytiques sont de nature complexe, soit parce que de telles solutions ne peuvent être exprimées en terme de combinaisons de fonctions mathématiques connues. Dans tous les cas, on peut avoir recours aux méthodes numériques. On attend donc de l’élève en mathématiques ou en sciences qu’il ou elle possède les connaissances pratiques nécessaires pour lui permettre d’appliquer les méthodes numériques à la résolution de certains problèmes de base en mathématiques comme l’interpolation ou l’intégration numérique. On s’attend également à ce qu’il ou elle puisse rechercher les racines des fonctions. Figure 3 : La navigation dans Internet est la clé de l’apprentissage en ligne. Université Virtuelle Africaine 4 VI. Contenu 6.1 Vue d’ensemble Première activité d’apprentissage : Les types d’erreurs et leurs causes La première activité d’apprentissage vise à faire connaître à l’élève les besoins en méthodes numériques. C’est ici que se définit le concept de l’erreur mathématique. On signale les sources et les types d’erreurs, puis on mentionne quelques moyens pratiques pour arriver à réduire leur effet cumulatif sur la solution numérique. Deuxième activité d’apprentissage : L’interpolation La deuxième activité d’apprentissage est consacrée au concept de l’interpolation. On y présente la méthode linéaire et les méthodes d’ordre supérieur du polynôme d’interpolation de Lagrange, ainsi que les différences divisées et les techniques d’in- terpolation de différence finie de Newton. Troisième activité d’apprentissage : L’intégration numérique La troisième activité d’apprentissage présente le problème de l’intégration numérique. Les discussions sont limitées aux formules de Newton-Cotes. On porte une attention particulière à la méthode des trapèzes et à la règle de Simpson ainsi qu’à l’application de la technique d’extrapolation de Richardson sur ces deux règles en dérivant des schémas d’intégration de Romberg. Quatrième activité d’apprentissage : Les racines des fonctions La quatrième et dernière activité d’apprentissage porte sur la recherche du problème à la racine associée à la résolution de l’équation non linéaire 0 ) ( = x f et sur la recherche du système couplé de deux équations non linéaires 0 ) , ( = y x f , 0 ) , ( = y x g . Figure 4 : Un baobab. Le nombre de racines est égal au nombre de brindilles. Université Virtuelle Africaine 5 6.2 Grandes lignes : Plan de cours (si nécessaire, inclure un calendrier) Ce cours, composé de deux unités, est offert au niveau 2 avec classement prioritaire A. Mathématiques module 3 est préalable à ce cours. Voici les détails du contenu de chacune des activités d’apprentissage. Le temps sug- géré de 35 heures convient aux élèves qui suivent le cours de niveau unité. Il reflète le nombre d’heures que l’élève devrait consacrer à chacune des composantes. [Les élèves qui suivent le cours de niveau module doivent allouer 120 heures à l’étude du module] Préparation, révision pour l’évaluation préalable (4 h) Activité d’apprentissage 1 : Les types d’erreurs et leurs causes (25 h) Les types d’erreurs et leurs sources; Le recours aux méthodes numériques; Les sources et les types d’erreurs; Les stratégies à adopter pour éviter les erreurs. Activité d’apprentissage 2 : L’interpolation (35 h) L’interpolation linéaire; L’interpolation lagrangienne; Les différences divisées de Newton; Les opérateurs de différence finie; Les tables des différences finies; Les polynômes d’interpolation des différences finies. Activité d’apprentissage 3 : L’intégration numérique (25 h) Les formules de Newton-Cotes; Les dérivations de la méthode des trapèzes et de la règle de Simpson; La méthode d’intégration de Romberg; Les méthodes de quadrature de Gauss. Activité d’apprentissage 4 : Les racines des fonctions (25 h) La méthode de dichotomie; La convergence de la méthode de dichotomie; La méthode regula falsi ou méthode de la fausse position; La méthode de la sécante; Université Virtuelle Africaine 6 La méthode de Newton-Raphson; La résolution d’un système couplé de deux équations non linéaires; L’itération de point fixe. Préparation et évaluation sommative (6 h) 6.3 Représentation graphique Figure 5 : Représentation graphique Racines des fonctions Intégration numérique Interpolation Types d’erreurs et leurs causes Méthodes numériques Université Virtuelle Africaine 7 VII. Objectifs généraux Au terme de ce module : L’élève sera en mesure de comprendre les propriétés des fonctions élémentaires et leurs diverses applications. Il ou elle aura acquis les connaissances pratiques lui permettant d’enseigner avec assurance ces matières à l’école secondaire. L’élève aura acquis des connaissances solides sur le contenu relié aux mathématiques scolaires qui lui permettront d’enseigner ces matières au secondaire. L’élève fera l’acquisition de connaissances sur les TIC et développera ses capacités à les utiliser pour améliorer les méthodes d’enseignement et d’apprentissage des mathématiques scolaires. Spécifiquement, l’élève sera en mesure de : (1) Distinguer les méthodes et les solutions numériques et analytiques; (2) Reconnaître l’importance de l’apprentissage et de l’application des méthodes numériques; (3) Identifier les principales sources d’erreurs et prendre les mesures appropriées pour les éliminer ou en réduire la fréquence; (4) Dériver et appliquer un certain nombre de méthodes d’interpolation; (5) Dériver et appliquer un certain nombre de méthodes d’intégration numéri- que; (6) Dériver et appliquer un certain nombre de méthodes numériques pour trouver les racines des fonctions; (7) Résoudre un système couplé de deux équations non linéaires à deux variables. Figure 6 : Antenne de transmission de signal Internet au AVU-Learning Center, Université de Dar es Salaam. Université Virtuelle Africaine 8 VIII. Objectifs spécifiques des activités d’apprentissage Comme il a déjà été mentionné dans les grandes lignes à la section VI, ce module est présenté en deux unités et leur contenu est divisé en quatre activités d’apprentissage. Chacune des activités d’apprentissage est présentée selon des objectifs spécifiques illustrés dans le tableau qui suit. L’élève peut consulter ce tableau pour visualiser les connaissances qu’il ou elle aura acquises à la fin de ce module. À la fin de ce module, l’élève sera capable de : S/N Activité d’apprentissage Objectifs spécifiques 1 Les types d’erreurs et leurs sources Dresser une liste des principales sources d’er- reurs de calcul et assimiler les étapes à suivre pour éliminer ou réduire leur effet cumulatif sur les solutions numériques; Reconnaître la différence entre la grandeur (exactitude) et la gravité (précision) d’une erreur; Comprendre et appliquer les méthodes d’interpolation linéaire dans un tableau des valeurs d’une fonction donné; Estimer l’erreur dans l’interpolation linéaire pour une fonction continue donnée. 2 L’interpolation Expliquer pourquoi les méthodes numériques sont essentielles à la résolution de problèmes mathématiques; Consigner et appliquer le polynôme d’inter- polation de Lagrange sur des données répar- ties de façon égale; Consigner et appliquer la méthode d’interpo- lation des différences divisées de Newton; Définir et manipuler les opérateurs de diffé- rence avant, arrière, centrée, de déplacement et de moyenne; Concevoir des tableaux des différences pour une fonction ou une donnée spécifique; Dériver et appliquer les mentions avant et arrière de Newton et la différence centrée des polynômes d’interpolation de Stirling. 3 L’intégration numérique Dériver, comprendre et appliquer la règle du trapèze, la règle de Simpson ainsi que toute formule d’intégration numérique de Newton- Cotes; Dériver, comprendre et appliquer le schéma d’intégration numérique de Romberg basé sur la règle du trapèze ou de Simpson. Université Virtuelle Africaine 9 4 Les racines des fonctions Dériver et appliquer la méthode de dichoto- mie; Démontrer la convergence de la méthode de dichotomie; Dériver, comprendre et appliquer les métho- des de la sécante et de la fausse position; Dériver, comprendre et appliquer la mé- thode uploads/Litterature/ methodes-numeriques 1 .pdf