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Houle et Vagues. ”´ Ecoulements en Milieux Naturels” Cours MSF12, M1 UPMC P.-Y.

Houle et Vagues. ”´ Ecoulements en Milieux Naturels” Cours MSF12, M1 UPMC P.-Y. Lagr´ ee CNRS & UPMC Univ Paris 06, UMR 7190, Institut Jean Le Rond ∂’Alembert, Boˆ ıte 162, F-75005 Paris, France pierre-yves.lagree@upmc.fr ; www.lmm.jussieu.fr/∼lagree 9 f´ evrier 2016 R´ esum´ e Dans ce ce chapitre nous regardons la propagation de la Houle lin´ eaire dite ”Houle de Airy” : c’est une perturbation non visqueuse inﬁnit´ esimale de la surface de l’eau, ` a profondeur quelconque. Nous ´ etablirons la relation de dispersion ω(k) pour des ondes sinuso¨ ıdale de faible hauteur du type cos(ωt −kx), nous parlerons de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe (vitesse de propagation de l’´ energie). En faible profondeur, nous ´ etablirons que la vitesse est √gh, on commence d’ailleurs par un cas o` u la hauteur d’eau est faible pour introduire quelques notions de base sur l’´ equation d’onde. Cours du module 4AF04 (´ ecoulements en milieux naturels) en salle 204 Tour 45/55 8h30-12h30 (5,/02/16 12/02/16, 19/02/16, 26/02/16 04/03/16) planning : http://www.master.sdi.upmc.fr cours, notes.. http://www.lmm.jussieu.fr/∼lagree/COURS/MFEnv/index.html 1 Contexte 1.1 Importance pratique La compr´ ehension des ´ ecoulements en milieu naturel est un enjeu important : enjeu scientiﬁque (compr´ ehension du monde qui nous entoure), industriel (navigation, construction navale, ´ energie) et enﬁn humain car la majeure partie des humains vivent le long des ﬂeuves ou des cˆ otes. (70 % des cˆ otes sont en ´ erosion, 80 % de la population mondiale habite ` a basse altitude et plus de 20 % ` a proximit´ e d’un oc´ ean ou d’un estuaire. (source Wiki /C^ ote (g´ eographie))). En France, 10% de la population r´ eside dans les communes pr` es des cˆ otes, repr´ esentant une densit´ e de 2.5 par rapport ` a la moyenne m´ etropolitaine. La longueur des cˆ otes en France est d’environ 6000km dont le tiers est sableux. L’objet de ces notes de cours (le sujet est classique depuis Airy et Stokes et il existe des t´ eraoctets de cours similaires sur le Ouaibe, sans oublier les kilom` etres de rayonnages de livres ` a consulter) est de poser et de r´ esoudre les ´ equations r´ egissant la propagation de perturbations de l’´ el´ evation de la surface d’un ﬂuide dans un champ de pesanteur. C’est ` a dire les vagues ! En faisant diﬀ´ erentes hypoth` eses on simpliﬁera par l’analyse asymptotique les ´ equations de Navier Stokes pour aboutir ` a des syst` emes d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles plus simples. On rappelle dans un premier temps l’”´ equation d’onde”, puis, apr` es avoir fait apparaˆ ıtre les eﬀets de propagation qui transportent la vague sans la d´ eformer, on fera apparaˆ ıtre ceux de dispersion, qui la cassent en vaguelettes, enﬁn les eﬀets des non lin´ earit´ es qui la font d´ eferler. Lorsque ces deux derniers eﬀets se compensent des ondes qui se propagent sans changer de forme peuvent exister, ce sont les solitons. Les ´ equations de Saint Venant sont ensuite retrouv´ ees dans le chapitre suivant dans une optique plus appliqu´ ee aux ´ ecoulements dans les ﬂeuves et les lagunes. 1 Houle et Vagues -2- 1.2 Mod´ elisation Attention, on va faire dans ce cours des simpliﬁcations importantes, c’est ce que l’on appelle la ”mod´ elisation”. Ces simpliﬁcations ne sont pas abusives, au contraire elles permettent d’extraire la quintessence du probl` eme en s’aﬀranchissant des ´ epiph´ enom` enes inutiles. Il faut trouver des ´ equations mod` eles et des conditions aux limites avec un niveau raisonnable de simpliﬁcation... C’est toute la subtilit´ e de la M´ ecanique et des sciences de l’ing´ enieur. 2 Introduction Nous allons ´ etablir les ´ equations de propagation de la houle et des vagues. nous commen¸ cons par une pr´ esentation simple 1D. Nous pr´ esentons ensuite les ´ equations compl` etes. Dans un premier temps, il nous faut d´ eﬁnir ce qu’est une vague. La d´ eﬁnition n’est pas claire, tout comme la d´ eﬁnition d’un son et d’un bruit n’est pas claire en acoustique (c’est le cas pour plein d’autres ph´ enom` enes de notre entourage). Figure 1 – Une vague : une perturbation de la hauteur d’eau qui se d´ eplace. Onde : perturbation qui se propage. ex : onde sonore (perturbation de la pres- sion de l’air), onde sur la corde vibrante (d´ eformation d’une corde tendue), ondes ´ electromagn´ etiques (perturbation des champs ´ electrique et magn´ etique). Vague : Perturbation de la surface de l’eau qui se propage. Houle : Vague en profondeur inﬁnie (loin de la cˆ ote et de la source). Vitesse du ﬂuide, vitesse de phase, vitesse de groupe : Il faut bien diﬀ´ erencier la vitesse de la particule de la vitesse de l’onde. Cette premi` ere est bien la vitesse associ´ ee au d´ eplacement d’un petit volume d’eau, tandis que la seconde est la vitesse ` a laquelle on a l’”impression” que la vague avance. La troisi` eme est la vitesse de d´ eplacement du paquet d’ondes et de l’´ energie D´ eferlante : C’est une vague dont la crˆ ete se d´ epace plus vite que le pied : elle se casse ... Mascaret : C’est en fait un simple ”ressaut” hydrodynamique comme on en voit dans les ´ eviers, mais il se d´ eplace... Soliton : Une vague non lin´ eaire et dispersive qui se propage sans changer de forme... 2.1 mod` ele simple en onde longue, ondes lin´ eaires simples : Figure 2 – Le volume de contrˆ ole pour ´ etablir l’´ equation de d’Alembert ` a partir d’un mod` ele simple (vitesse constante dans la section). Nous commen¸ cons par un cas particulier qui permet de poser les concepts. Dans cette premi` ere partie nous passons rapidement sur les probl` emes pour aboutir ` a l’´ equation d’ondes qui est la base de ce cours. Notre d´ emarche ici sera tr` es ´ el´ ementaire, fond´ ee sur une mod´ elisation 1D, dans les par- ties suivantes nous pr´ eciserons les hypoth` eses faites. En fait, la pr´ esentation suivante est peu rigoureuse (et mˆ eme fausse), mais nous ´ ecrirons ensuite toutes les ´ equations de mani` ere rigoureuse. La mani` ere la plus simple est de consid´ erer une ´ etendue d’eau initialement au repos et d’´ epaisseur constante h0. Supposons que nous perturbions cette surface, la hauteur devient η : Cette ´ el´ evation d’une masse d’eau ρη(x)∆x (par unit´ e transverse au plan) produit une variation de pression ´ egale ` a gρη par nivellement barom´ etrique. La somme des forces agissant transversalement est ´ egale ` a l’acc´ el´ eration de la masse d’eau comprise dans le volume S∆x, d’o` u, puisque le ﬂuide est pouss´ e de Houle et Vagues -3- droite ` a gauche avec la force ρgηS en x et de droite ` a gauche en x + ∆x ρgη(x)S(x) −ρgη(x + ∆x)S(x + ∆x) = ρ∆xS∂u/∂t. On a suppos´ e que la vitesse u est constante sur toute la section. En faisant tendre ∆x vers 0, la conservation de la quantit´ e de mouvement est : ∂u ∂t = −g ∂η ∂x (1) La conservation de la masse totale d’eau, appliqu´ ee au pr´ ec´ edent petit volume donne par unit´ e de longueur transverse, en introduisant la vitesse transverse v = ∂η ∂t (faible) s’´ ecrit : −u(x + ∆x)(h0 + η(x + ∆x)) + u(x)(h0 + η(x)) −v∆x = 0, donc en faisant tendre ∆x vers 0 : ∂η ∂t = −∂(u(h0 + η)) ∂x (2) puisque l’amplitude est petite : ∂η ∂t = −∂u ∂xh0. L’´ elimination de u donne la fameuse ´ equation d’onde (ou ´ equation de d’Alembert 1747) : ∂2η ∂t2 = c2 0 ∂2η ∂x2 avec c2 0 = gh0. Que l’on note parfois ` a l’aide de l’op´ erateur appel´ e d’Alembertien : □η = 0, avec □= ∂2 ∂x2 −1 c2 0 ∂2 ∂t2 Pour ´ ecrire ces relations nous sommes all´ es un peu vite en besogne dans notre d´ ecompositions en tranches. Il est en eﬀet plus correct de bien voir que le volume que l’on a choisi varie avec l’´ ecoulement : il se d´ eforme. Il faudra aussi tenir compte des termes d’inertie non lin´ eaires. On pourra ainsi montrer que le raisonnement plus haut permet de trouver les ´ equations Shallow Water correctes telles que nous les ´ etablirons plus loin (dans le chapitre suivant). 2.1.1 ´ equation d’onde Revenons ` a l’´ equation de d’Alembert : ∂2η ∂t2 = c2 0 ∂2η ∂x2 avec c2 0 = gh0. En posant ξ = x −c0t, et ζ = x + c0t , on voit que comme ∂ ∂x = ∂ξ ∂x ∂ ∂ξ + ∂ζ ∂x ∂ ∂ζ et ∂ ∂t = ∂ξ ∂t ∂ ∂ξ + ∂ζ ∂t ∂ ∂ζ ∂ ∂x = ∂ ∂ξ + ∂ ∂ζ et ∂ ∂t = c0(−∂ ∂ξ uploads/Litterature/ mfehoule 1 .pdf