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NOMBRES COMPLEXES INTRODUCTION AUX NOMBRES COMPLEXES 1 Nombres complexes Il exi

NOMBRES COMPLEXES INTRODUCTION AUX NOMBRES COMPLEXES 1 Nombres complexes Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés sui- vantes : 1. C contient R. 2. Cestmunid’uneadditionetd’unemultiplicationquisuiventlesmêmesrègles de calcul que dans R. 3. C contient un nombre noté i tel que i2 = −1. 4. Tout nombre complexe z admet une unique écriture sous la forme z = x + iy avec (x, y) ∈R2. – Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre z. – le réel x est la partie réelle du nombre z notée Re(z), – le réel y est la partie imaginaire du nombre z notée Im(z), – si y = 0, le nombre z est dit réel et si x = 0 le nombre z est dit imaginaire pur. – L’ensemble des imaginaires purs est noté : iR = {z = x + iy : x = 0 et y ∈R} . 2 Règles de calcul Soient z = a + ib et z′ = a′ + ib′ deux nombres complexes (a, b, a′ et b′ sont des réels). – l’opposé de z est −z = −a −ib. – La multiplication par un scalaire λ ∈R : λz = λa + i(λb). – L’inverse de z = a + ib, (z ̸= 0) est le nombre complexe 1 z = a −ib a2 + b2 . – La multiplication de z par z′ est le nombre complexe z × z′ = aa′ −bb′ + i(ab′ + a′b). – La division z z′ , (z′ ̸= 0) est le nombre complexe z × 1 z′ . Proposition 1 Pour tout z ∈C diférent de 1, on a 1 + z + z2 + ... + zn = 1 −zn+1 1 −z . 3 Nombre conjugué 3.1 Définition Soit z = x + iy un nombre complexe, on appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe z = x −iy. 1 NOMBRES COMPLEXES INTRODUCTION AUX NOMBRES COMPLEXES 3.2 Propriétés de la conjugaison Soient z1, z2 deux nombres complexes. Alors, z1 + z2 = ¯ z1 + ¯ z2, z1 −z2 = ¯ z1 −¯ z2, z1z2 = ¯ z1 ¯ z2, z1 z2 = ¯ z1 ¯ z2 , pour tout z2 ̸= 0, ∀n ∈N, zn = (z)n. 3.3 Remarques 1. z + ¯ z = 2 Re(z) et z −¯ z = 2 i Im(z). 2. z ∈R ⇔z = ¯ z. 3. z ∈iR ⇔z = −¯ z. 4 Module d’un nombre complexe 4.1 Définition Soit z = x + iy un nombre complexe, on appelle module de z le nombre réel |z| = p x2 + y2. 4.2 Propriétés Soient z, z1 et z2 trois nombres complexes. Alors 1. z¯ z = |z|2. 2. |¯ z| = |z|. 3. |z| = 0 ⇔z = 0. 4. |z1 z2| = |z1||z2| et ∀n ∈N, |zn 1 | = |z1|n. 5. Pour tout z ̸= 0, 1 z = 1 |z|. 6. Pour tout z2 ̸= 0, z1 z2 = |z1| |z2|. 7. |z1 + z2| ≤|z1| + |z2| (inégalité triangulaire). 8. |z1| −|z2| ≤|z1 −z2|. 2 uploads/Litterature/ module-1-nombres-complexes-partie1 1 .pdf