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Université A. Mira de Béjaia Année 2009/2010 Faculté de la Technologie 2ème Ann

Université A. Mira de Béjaia Année 2009/2010 Faculté de la Technologie 2ème Année LMD/ST MATH VI : Analyse Numérique Mr : MEZIANI Bachir Page 1/15 CHAPITRE I Résolution Approchées des Equations Non-Linéaires ( ) 0 = x F I.0-Introduction : Soit R R F → : une fonction donnée. Nous désirons trouver une ou plusieurs solutions à l’équation ( ) 0 = x F . Il existe des cas simples pour qui on peut exprimer une solution d’une équation à partir de la fonction, par exemple le cas d’une équation du second degré: ax2 + bx + c =0 pour lequel la solution α est: soit, 2a 4ac - b2 - b - soit, -b + b2 - 4ac 2a Dans tous les autres cas, nous ne pouvons pas résoudre, en utilisant une méthode analytique, un polynôme de degré supérieur à deux (02) ou une équation sous forme exponentielle, logarithmique ou trigonométrique etc. On rappelle que résoudre une équation de la forme ( ) 0 = x F revient à trouver * x (ou les « * x ») tel que ( ) 0 * = x F . * x est alors appelé racine unique (ou multiple) de ( ) 0 = x F . Dans ce chapitre, nous abordons quelques méthodes numériques qui permettent d’approcher une racine de ( ) x F sur un domaine donné ( car il n’est pas, tout le temps, possible de trouver exactement la racine de ( ) x F recherchée). Néanmoins, nous pouvons, par des méthodes algébriques (graphiques) connaitre l’existence et le nombre de racines en les séparant. Pour les différentes méthodes nous supposerons que F est une fonction continue et qu’il existe un intervalle [ ] b a , où l’équation a une et une seule racine que l’on notera α . Pour choisir l'intervalle [ ] b a , on peut: ♦Soit utiliser la méthode graphique (tracer la courbe) et situer la solution d'où le choix de [ ] b a , , ♦Soit utiliser la méthode algébrique : la méthode de la séparation des racines en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires. Définition: ( ) x F admet une racine séparée dans ] [ b a, si et seulement si α est unique. Aussi séparer les racines de " ( ) 0 = x F " revient à déterminer les intervalles ] [ b a, dans lesquels chaque racine est unique. Pour ceci on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires: Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue dans [ ] b a , et ( ) ( ) 0 . < b F a F alors ∃ ] [ b a, ∈ α tel que ( ) 0 = α F . Si de plus ( ) x F est monotone dans [ ] b a , alors α est unique dans [ ] b a , . Université A. Mira de Béjaia Année 2009/2010 Faculté de la Technologie 2ème Année LMD/ST MATH VI : Analyse Numérique Mr : MEZIANI Bachir Page 2/15 Exemples : a- ( ) 0 2 = − = −x e x x F -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 -4 -2 0 2 4 F(x)=x-exp(-2x) b- ( ) 0 2 = − = x e x x F -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -4 -2 0 2 4 F(x)=x 2-exp(-x) x c- ( ) 0 ) cos( = − = x x x F -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 -4 -2 0 2 4 F(x)=x-cos(x) x I.1.1 Méthode algébrique : Séparons les racines de l’équation 0 1 3 3 = + −x x dans l’intervalle[ ] 3 , 3 − . ♦ ( ) 1 3 3 + − = x x x F est une fonction polynomiale donc elle est continue dans[ ] 3 , 3 − . Université A. Mira de Béjaia Année 2009/2010 Faculté de la Technologie 2ème Année LMD/ST MATH VI : Analyse Numérique Mr : MEZIANI Bachir Page 3/15 ♦ ( ) 0 17 3 < − = − F , ( ) 0 19 3 > = F donc ( ) ( ) 0 3 . 3 < − F F aussi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une racine α de ( ) 0 = x F dans [ ] 3 , 3 − . Pour étudier l’unicité de la racine α étudions la monotonie de celle-ci : ( ) 1 3 3 + − = x x x F ; ( ) ( )( ) 1 1 3 3 3 2 ' + − = − = x x x x F x -3 -1 +1 3 ( ) x F ' + 0 - 0 + ( ) x F 3 19 -17 -1 1 α unique dans [ ] 1 - , 3 − car ( ) x F est monotone et ( ) ( ) 0 1 . 3 < − − F F 2 α unique dans [ ] 1 , 1 − car ( ) x F est monotone et ( ) ( ) 0 1 . 1 < − F F 3 α unique dans [ ] 3 , 1 car ( ) x F est monotone et ( ) ( ) 0 3 . 1 < F F d’où la séparation des racines. I.1.2- Méthode graphique: -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 1 1 2 2 3 3 -4 -2 0 2 4 α3 α2 α1 F(x)=x 3_3x+1 x Dans ce cas les racines ( ) 0 = x F représentent les points d’intersections du graphe de ( ) x F avec l’axe ox x' donc, il suffit de tracer le graphe de ( ) x F et de déterminer les points d’intersections. Ceci fait nous aurons les intervalles d’où la séparation des racines. Université A. Mira de Béjaia Année 2009/2010 Faculté de la Technologie 2ème Année LMD/ST MATH VI : Analyse Numérique Mr : MEZIANI Bachir Page 4/15 Dans le cas où ‘ ( ) x F ’ est compliquée, il faut transformer l’équation ( ) 0 = x F par une équation équivalente ( ) ( ) x h x g = avec ‘ ( ) x g ’ et ‘ ( ) x h ’ deux fonctions plus simples. Les points d’intersections des graphes de ‘ ( ) x g ’ et de ‘ ( ) x h ’ sont alors recherchés. Pour notre exemple on aurait pu transformer ( ) 0 = x F en deux fonctions plus simples. En effet 0 1 3 3 = + −x x ⇒ 1 3 3 − = x x ⇒ ( ) 3 x x g = et ( ) 1 3 − = x x h d’où le graphe et les solutions qui correspondent aux intersections des deux courbes -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 1 1 2 2 3 3 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 α3 α2 α1 g(x)=x 3 et h(x)=3x-1 x Nous avons 3 intersections ⇒3 solutions et 3 intervalles I.2-Méthode de la Dichotomie (Bissection) : La méthode de la bissection est basée sur le résultat d’analyse mathématique suivant (Théorème des Valeurs Intermédiaires). a- ( ) x F est continue sur un intervalle [ ] b a , b- ( ) ( ) 0 . < b F a F D’après a et b, il existe au moins une valeur [ ] b a , ∈ α tel que ( ) 0 = α F De plus, si ( ) x F est monotone sur l’intervalle [ ] b a , (strictement croissante ou strictement décroissante sur l’intervalle[ ] b a , ), alors la racine α est unique sur[ ] b a , . -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 -4 -2 0 2 4 α F(a) F(b) x b a Université A. Mira de Béjaia Année 2009/2010 Faculté de la Technologie 2ème Année LMD/ST MATH VI : Analyse Numérique Mr : MEZIANI Bachir Page 5/15 Problème : Nous ne connaissons pas la valeur exacte deα . Pour cela, nous faisons appel à la méthode de la Dichotomie. Principe de la méthode : ¾ Nous construisons les suites ( ) N n n a ∈, ( ) N n n b ∈ de la manière suivante sur l’intervalle [ ] b a I , = . ¾ Nous posons a a = 0 , b b = 0 , 2 0 b a x + = ¾ étape1- Si ( ) 0 0 = x F ⇒ 0 x = α ¾ étape2- Si ( ) 0 0 ≠ x F , nous vérifions le théorème des valeurs intermédiaires sur le domaine [ ] 0 x a, uploads/Litterature/ resolution-approchees-des-equations-non-lineaires-universite-de-bejaia.pdf