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UNIVERSITE DE BOUIRA – FACULTE DES SCIENCES METHODES NUMERIQUES DEPARTEMENT DE

UNIVERSITE DE BOUIRA – FACULTE DES SCIENCES METHODES NUMERIQUES DEPARTEMENT DE GENIE ELECTRIQUE L2 – S4 – ELT/ELN/TC – 2019/2020 SERIE DE TD NO 1 (RESOLUTION DES EQUATIONS NON LINEAIRES) EXERCICE 1 On considère l’équation f (x )=0 , avec f (x )=x 3−3 x−1 1. Séparer les racines de cette équation. 2. Faire 4 itérations de la méthode de dichotomie à partir de l’intervalle[1,2]. Quelle itération a donné le meilleur résultat ? Justifier et conclure. 3. a) Déterminer le nombre d’itérations n à faire pour avoir∆x ≤10 −5. b) Donner une estimation de l’erreur après 19 itérations. EXERCICE 2 (Mettre la calculatrice sur les RADIANS) On considère l’équation f (x )=0 , avec f (x )=tg (x )−3 x+1 1. Ecrire l’équation f (x )=0 sous la forme f 1(x )=f 2(x ) avecf 1(x )=tg (x). 2. Tracer les graphes de f 1 etf 2 sur l’intervalle¿−π 2 , π 2 ¿. Que peut-on dire concernant les racines de l’équation f (x )=0 sur cet intervalle ? 3. Faire 4 itérations de la méthode de dichotomie à partir de l’intervalle[1,1.5]. 4. Déterminer le nombre d’itérations n à faire pour avoir∆x ≤10 −4. Exercice 3 : On considère l’équation f (x )=0 avec f (x )= 1 x −5 1. Calculer la racine exacte de cette équation. 2. Donner la formule de Newton correspondante la plus simplifiée possible. 3. Faire 4 itérations de cette méthode en posantx0=0.1. Calculer à chaque itération l’erreur absolue ainsi que|xk−xk−1|. Comparer et conclure. (Utiliser 4 chiffres après la virgule, arrondir le 4ème) Exercice 4 : I. Expliquer graphiquement le principe de la méthode de Newton pour résoudre une équationf (x )=0. II. On considère l’équation f (x )=0 , avec f (x )=e x−x−2 , à résoudre. 1. Séparer les racines de cette équation 2. a) Faire 4 itérations de la méthode de dichotomie à partir de l’intervalle[1,2]. b) Donner une estimation de la racine c) Déterminer le nombre d’itérations n à faire pour avoir∆x ≤10 −3 3. a) Approcher la racine à 10 −3 près par la méthode de Newton en posant x0 = 1 b) Donner une estimation de la racine (utiliser 4 chiffres après la virgule) 1 4. D’après les résultats des questions 2.d) et 3.a), comparer les deux méthodes et conclure CORRIGE DE LA SERIE DE TD N O 1 EXERCICE 1 On considère l’équation f (x )=0 , avec f (x )=x 3−3 x−1 , à résoudre 1. Séparation des racines f’(x) = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x + 1) (x – 1) x –  – 1 1 +  f’(x) + 0 – 0 + f(x) 1 +  –  – 3 f(–2) = –3 , f(0) = –1 , f(2) = 1 Le graphe de f possède 3 points d’intersection avec l’axe x, donc l’équation f(x) = 0 possède 3 racines α1[-2,-1], α2[-1,0], α3[1,2] 2. 4 itérations de la méthode de dichotomie à partir de l’intervalle [1,2] i a b xi = (a+b)/2 f(a) f(b) f(xi) 1 1 2 1.5 - 3 1 - 2.125 2 1.5 2 1.75 - 2.125 1 - 0.891 3 1.75 2 1.875 - 0.891 1 - 0.033 4 1.875 2 1.9375 - 0.033 1 - 0.461 x3=1.875 (3ème itération) est le meilleur résultat obtenu (même par rapport àx4) car f (x3)=−0.033 est le plus proche de 0. On conclu que même si la convergence de la méthode de Dichotomie vers la racine est sûre, cette convergence n’est pas monotone. 3.a) Nombre d’itérations pour avoir∆x ≤10 −5 n≥ ln( b−a 10 −5) ln (2) = ln( 1 10 −5) ln(2) =5 ln (10) ln (2) ≈16.61  n = 17 b) Estimation de l’erreur après 19 itérations 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 ∆x ≤b−a 2 n ⇒∆x≤2−1 2 19 ⇒∆x ≤1.91×10 −6 EXERCICE 2 f (x )=tg (x )−3 x+1 1. f (x )=0⇔tg(x )−3 x+1=0 ⇔tg (x )=3 x−1 ⇔f 1 (x )=f 2 (x ) Avec f 1(x )=tg (x) et f 2(x )=3 x−1 2. Les graphes de f1 et f2 possèdent 3 points d’intersection sur l’intervalle¿−π 2 , π 2 ¿. Donc l’équation f(x) = 0 possède 3 racines sur cet intervalleα 1∈¿−π 2 ,−1¿¿,α 2∈[0,1 ],α3∈¿1, π 2 ¿. 3. 4 itérations de la méthode de dichotomie à partir de l’intervalle [1,1.5] No itr. a b xi = (a+b)/2 f(a) f(b) f(xi) 1 1 1.5 1.25 - 0.4426 10.6014 0.2596 2 1 1.25 1.125 - 0.4426 0.2596 - 0.2824 3 1.125 1.25 1.1875 - 0.2824 0.2596 - 0.0826 4 1.1875 1.25 1.21875 - 0.0826 0.2569 0.0660 4. Nombre d’itérations n à faire pour avoir∆x ≤10 −4 ∆x ≤10 −4⇒n≥ ln( b−a 10 −4) ln (2) = ln( 0.5 10 −4) ln(2) ≈12.29  n = 13 EXERCICE 3 f (x )= 1 x −5 1. Racine exacte α de l’équation f (x )=0 f (α)=0⇔1 α −5=0⇔1 α =5⇔α=1 5=0.2 2. Formule de Newton correspondante 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 xk+1=xk− f (xk) f ' (xk) =xk− 1 xk −5 ( −1 xk 2 ) =2 xk−5 xk 2=xk(2−5 xk) xk+1=xk (2−5xk) 3. 4 itérations de cette méthode en posantx0=0.1 k xk Δ x=|α−xk| |xk−xk−1| 1 0.1500 0.0500 0.0500 2 0.1875 0.0125 0.0375 3 0.1992 0.0008 0.0117 4 0.2000 0.0000 0.0008 À chaque itération on constate que Δ x=|α−xk|≤|xk−xk −1| On conclu que, dans l’algorithme de Newton, pour garantir queΔ x ≤ε, qui ne peut pas être vérifié généralement car α n’est pas connue, il suffit de vérifier que|xk−xk−1|≤ε. EXERCICE 4 I. Principe de la méthode de Newton A partir d’une abscisse initialex0, tracer la tangente à la courbe de f au point(x0,f (x0)). Cette tangente coupe l’axe des x enx1. Tracer une 2ème tangente à la courbe de f au point (x1,f (x1)) qui coupe l’axe des x en x2 … et ainsi de suite. Les abscisses x0,x1,x2… constituent une suite qui converge vers la racine de l’équation f (x )=0 II. On considère l’équation f (x )=0 avec f (x )=e x−x−2 1. Séparation des racines f ' (x )=e x−1 x –  0 +  f’(x) – 0 + f(x) +  +  – 1 4 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -5 0 5 10 15 20  x0 x1 x2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1 2 f (−1)≈−0.63,f (−2)≈0.14, f (1)≈−0.28,f (2)≈3.39 Le graphe de f possède 2 points d’intersection avec l’axe x, donc l’équation f(x) = 0 possède 2 racines α1[-2,-1], α2[1,2] 2. Méthode de dichotomie a) 4 itérations de la méthode de dichotomie à partir de l’intervalle [1,2] No itr. a b xi = (a+b)/2 f(a) f(b) f(xi) Δx 1 1 2 1.5 - 0.28 3.39 0.98 0.5 2 1 1.5 1.25 - 0.28 0.98 0.24 0.25 3 1 1.25 1.125 - 0.28 0.24 -0.05 0.125 4 1.125 1.25 1.1875 - 0.05 0.24 0.09 0.0625 b) Estimation de la racine : α=1.1875±0.0625 c) ∆x ≤b−a 2 n ≤10 −3⇒n≥ ln( b−a 10 −3) ln (2) = ln( 1 10 −3) ln(2) ≈9.97  n = 10 3. Méthode de Newton a) Approche de la racine à 10 -3 près par la méthode de Newton avec x0=1 Algorithme de Newton { x0=1 xk+1=xk−f (xk) f ' (xk) x1=x0− f (x0) f ' (x0) =1−f (1) f ' (1)=1.1640|x1−x0|=|1.1640−1|=0.1640 x2=x1− f (x1) f ' (x1) =1.1640−f (1.1640) f ' (1.1640)=1.1464|x2−x1|=|1.1464−1.1640|=0.0176 x3=x2− f (x2) f ' (x2) =1.1464−f (1.1464) f ' (1.1464)=1.1462|x3−x2|=|1.1462−1.1464|=0.0002≤10 −3 b) Estimation de la racine α=1.1462±0.0002 4. Comparaison des deux méthodes 5 Pour atteindre une précision de 10 −3 , et d’après la question 2.d), il faudrait faire 10 itérations de la méthode de dichotomie alors que la méthode de Newton, et d’après la question 3.a), n’a nécessité que 3 itérations. On conclut que la méthode de Newton converge beaucoup plus rapidement que la méthode de dichotomie. 6 uploads/Litterature/ serie1-td-corrigee.pdf