Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´

Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Corrig´ e - S´ erie 4 Lois conjointes et tableaux de fr´ equences ` a double entr´ ee Exercice 1 a) Loi conjointe de X et Y : HHHHHHH X Y 2 3 4 Total 1 1/6 1/6 1/6 3/6 2 0 1/6 1/6 2/6 3 0 0 1/6 1/6 Total 1/6 2/6 3/6 1 Loi marginale de X : xi 1 2 3 Total pi• 3/6 2/6 1/6 1 Loi marginale de Y : yj 2 3 4 Total p•j 1/6 2/6 3/6 1 b) Diagramme en mosaïque (X conditionnel a Y) y x 2 3 4 1 2 3 c) X et Y ne sont pas ind´ ependantes, car il y a plusieurs cas o` u pij ̸= pi•p•j. d) Loi conditionnelle de Y lorsque le plus petit num´ ero tir´ e vaut 3 : yj 2 3 4 Total pj|X=3 0 0 1 1 e) E(Y |X = 3) = 4 ; p V ar(Y |X = 3) = 0. f) Loi conditionnelle de X lorsque le plus grand num´ ero tir´ e est pair : 1 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin xi 1 2 3 Total pi|Y =2 ou 4 1/2 1/4 1/4 1 g) Cov(X, Y ) = E(XY ) −E(X)E(Y ) = 1 6 [1(2) + 1(3) + 1(4) + 2(3) + 2(4) + 3(4)] − 3 6(1) + 2 6(2) + 1 6(3)  1 6(2) + 2 6(3) + 3 6(4)  = 35 6 − 10 6  20 6  = 5 18 . Exercice 2 a) Loi conjointe de X et Y : HHHHHHH X Y -2 5 8 Total 1 0,21 0,35 0,14 0,7 2 0,09 0,15 0,06 0,3 Total 0,3 0,5 0,2 1 b) P(X et Y pairs) = 0, 09 + 0, 06 = 0, 15. c) P(X = 1|Y = 5 ou 8) = P(X = 1 et Y = 5) + P(X = 1 et Y = 8) P(Y = 5) + P(Y = 8) = 0, 35 + 0, 14 0, 5 + 0, 2 = 0, 7 d) Il n’est pas n´ ecessaire d’effectuer le calcul, car les variables sont ind´ ependantes. Ainsi, leur covariance est nulle. Si vous avez besoin de vous convaincre : Cov(X, Y ) = 4, 55 −(1, 3)(3, 5) = 0. 2 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Exercice 3 X = nombre de cartes de pique (♠) pig´ ees Y = nombre de rois pig´ es a) Loi conjointe de X et Y : PPPPPPPPPP P X (♠) Y (K) 0 1 2 Total 0 36 2  52 2  3 1 36 1  52 2  3 2  52 2  39 2  52 2  1 12 1 36 1  52 2  36 1  + 3 1 12 1  52 2  3 1  52 2  13 1 39 1  52 2  2 12 2  52 2  12 1  52 2  0 13 2  52 2  Total 48 2  52 2  4 1 48 1  52 2  4 2  52 2  1 Loi conjointe de X et Y en version fractionnaire : PPPPPPPPP P X (♠) Y (K) 0 1 2 Total 0 630 1326 108 1326 3 1326 741 1326 1 432 1326 72 1326 3 1326 507 1326 2 66 1326 12 1326 0 78 1326 Total 1128 1326 192 1326 6 1326 1 b) X et Y ne sont pas des variables ind´ ependantes, car le produit des probabilit´ es mar- ginales n’est pas toujours ´ egal ` a la probabilit´ e conjointe correspondante. Contre-exemple : p22 = 0, ce qui n’´ egale pas p2•p•2 = 6×78 13262 3 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin c) P(Y ≥1|X ≥1) = P(Y ≥1 ∩X ≥1) P(X ≥1) = (72 + 3 + 12 + 0)/1326 (507 + 78)/1326 = 0, 1487 d) • Vous payez 1$ pour chaque carte de pique pig´ ee. • Vous recevez 2$ pour chaque roi pig´ e. Un jeu est ´ equitable si l’esp´ erance de gain est nulle. Pour calculer l’esp´ erance du gain, on peut proc´ eder de deux fa¸ cons : 1) On d´ etermine la valeur du gain pour chaque couple de valeurs (xi, yj), que l’on notera g(xi, yj). On calcule l’esp´ erance du gain comme suit : E(Gain) = I P i=1 J P j=1 g(xi yj) P(X = xi et Y = yj) = 0  630 1326  + 2  108 1326  + ... = −0, 19$ 2) On d´ efinit la variable Gain comme une combinaison lin´ eaire des variables X et Y : G = (−1) X + 2 Y On calcule l’esp´ erance du gain comme suit : E(G) = (−1) E(X) + 2 E(Y ) = (−1)  663 1326  + 2  204 1326  = −0, 19 $ Le jeu n’est donc pas ´ equitable, car en moyenne, le joueur perd de l’argent. Quel montant un roi devrait-il vous faire gagner pour le jeu devienne ´ equitable ? Supposons qu’un roi vous donne k dollars. La valeur de k sera d´ etermin´ ee d’apr` es l’´ equation : E(G) = (−1) E(X) + k E(Y ) = 0 ⇒ k = 663 204 = 3, 25 $ 4 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Exercice 4 Le tabac est-il plus associ´ e aux d´ ec` es par cancer du poumon ou aux d´ ec` es par maladies coronariennes ? On veut savoir si P(Cancer|Fum) est sup´ erieure ou inf´ erieure ` a P(Mal.coron.|Fum). L’´ enonc´ e nous dit que P(Cancer|Fum) P(Cancer|Non −Fum) = 10 et que P(Mal.coron.|Fum) P(Mal.coron.|Non −Fum) = 1, 7 On sait ´ egalement que P(Cancer|Non −Fum) = 5/100 000 et que P(Mal.coron.|Non −Fum) = 170/100 000. Il suit que P(Cancer|Fum) = 10 × 5 100 000 = 50 100 000 et que P(Mal.coron.|Fum) = 1, 7 × 170 100 000 = 289 100 000 Ainsi, puisque les maladies coronariennes sont beaucoup plus pr´ esentes dans la population que le cancer du poumon, il est normal qu’elles soient associ´ ees ` a plus de d´ ec` es de fumeurs. Cette analyse ne permet toutefois pas de d´ eterminer si le tabac a caus´ e ces d´ ec` es. Exercice 5 a) Taux de mortalit´ e des m` eres avant 1847 : M´ edecins accoucheurs : pM = 1 989 20 024 = 0, 098 Sages-femmes : pSF = 691 17 791 = 0, 039 5 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin b) Y a-t-il un lien statistique entre le type d’accoucheur et la survie ? (La diff´ erence entre les deux taux de mortalit´ e est-elle significative ou fortuite ?) On peut conduire un test d’ind´ ependance et tester les hypoth` eses suivantes ` a l’aide de la distribution du khi-carr´ e. H0 : La survie et le m´ etier de l’accompagnant sont ind´ ependants H1 : Il existe une relation entre la survie et le m´ etier de l’accompagnant On calcule les fr´ equences esp´ er´ ees, puis la distance observ´ ee entre le mod` ele d’ind´ ependance (le tableau des fr´ equences esp´ er´ ees) et les observations. Fr´ eq. obs. Oij Survie D´ ec` es Total M´ edecins 18 215 1 989 20 204 Sages-femmes 17 100 691 17 791 Total 35 315 2 680 37 995 Fr´ eq. esp. Eij Survie D´ ec` es Total M´ edecins 18 778,9 1 425,1 20 204 Sages-femmes 16 536,1 1 254,9 17 791 Total 35 315 2 680 37 995 Valeur observ´ ee de la statistique du test : Dobs = 512, 68. Puisque notre tableau de fr´ equences a les dimensions 2 × 2, l’esp´ erance de la distance sous H0 est (2 −1) × (2 −1) = 1. La valeur observ´ ee est beaucoup plus grande que n’importe quelle valeur critique, et le seuil observ´ e (P(D > 512, 68) sous H0) est presque 0. Le lien est tr` es clair : le taux de mortalit´ e est plus ´ elev´ e chez les m´ edecins. c) Taux de mortalit´ e des m` eres apr` es 1847 : M´ edecins accoucheurs : pM = 1 712 uploads/Litterature/ serie4-corrige.pdf

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