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1 Solide de Platon Sauter à la navigation Sauter à la recherche En géométrie euclidienne, un solide de Platon est un polyèdre régulier et convexe. Tandis que les polygones réguliers et convexes de la géométrie plane sont en nombre infini, il existe seulement cinq solides de Platon. Les cinq polyèdres réguliers convexes (solides de Platon) Tétraèdre Hexaèdre ou Cube Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre Le nombre de faces du solide, 4, 6, 8, 12, ou 20, est dans le préfixe du nom du solide : tétra pour quatre, hexa pour six — un cube est un hexaèdre régulier —, octa pour huit, dodéca pour douze, icosa pour vingt. L’adjectif « régulier » sera souvent implicite dans cette page1. Dans ce portrait, par Jacopo de' Barbari, de Luca Pacioli, auteur de De divina proportione, un dodécaèdre régulier est exposé en bas à droite. Depuis les mathématiques grecques, les solides de Platon furent un sujet d’étude des géomètres en raison de leur esthétique et de leurs symétries. Leur nom, donné en l’honneur du philosophe grec Platon, rappelle une de ses théories, associant quatre d’entre eux aux quatre éléments de l’ancienne physique. 2 Sommaire  1 Histoire  2 Propriétés combinatoires  3 Classification o 3.1 Démonstration géométrique o 3.2 Démonstration topologique  4 Propriétés géométriques o 4.1 Angles o 4.2 Rayons, aires et volumes  5 Symétrie o 5.1 Polyèdre dual o 5.2 Groupes de symétrie  6 En nature et en technologie  7 Polyèdres reliés et polytopes o 7.1 Polyèdres uniformes o 7.2 Pavages o 7.3 Dimensions plus élevées  8 Notes et références  9 Voir aussi o 9.1 Articles connexes o 9.2 Bibliographie o 9.3 Liens externes Histoire Selon une étude, les peuples néolithiques d'Écosse auraient construit des modèles en pierre des « cinq solides » au moins 1 000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont gardés au Ashmolean Museum à Oxford. Mais cette conclusion est hâtive2. Dans l'histoire des mathématiques de la Grèce antique, on peut tracer la chronologie suivante. Les pythagoriciens ont eu une connaissance empirique de trois solides : le tétraèdre (la pyramide), l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre (douze faces). Selon Proclos, Pythagore lui-même (vers 530 av. J.-C.) aurait eu connaissance de ces solides. Mais ce peut être son disciple Hippase de Métaponte (qui aurait construit le premier dodécaèdre) ou, plus vraisemblablement, Archytas de Tarente (vers 360 av. J.-C.).[réf. nécessaire] Il n'est pas fait mention de la pyramide avant Démocrite (fragment 155), actif vers 430 av. J.-C. Archytas aurait le premier construit le cube, pour résoudre le problème de la duplication du carré. Le premier, Platon mentionne le dodécaèdre, dans le Phédon (110b), qui date d'env. 383 av. J.-C. Le mathématicien Théétète d'Athènes (mort en 395 ou 360 av. J.-C.) a découvert les deux autres solides : l'octaèdre et l'icosaèdre ; surtout, il les a construits, le premier, tous les cinq3. 3 Les solides de Platon jouent un rôle déterminant dans la philosophie de Platon, à partir duquel ils ont été nommés. Platon, dans le dialogue Timée (env. 358 av. J.-C.), associait chacun des quatre éléments (la Terre, l'Air, l'Eau et le Feu) avec un solide régulier. La Terre était associée avec le cube (Timée, 55d), l'Air avec l'octaèdre, l'Eau avec l'icosaèdre et le Feu avec le tétraèdre. Il existait une justification pour ces associations : la chaleur du Feu semble pointue et comme un poignard (comme un peu le tétraèdre). L'Air est constitué de l'octaèdre ; ses composants minuscules sont si doux qu'on peut à peine les sentir. L'Eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main lorsqu'on la saisit comme si elle était constituée de petites boules minuscules. Le solide le plus stable, l'hexaèdre (cube), représente la Terre. Ces petits solides font de la poussière lorsqu'ils sont émiettés et se cassent lorsqu'on s'en saisit, une grande différence avec l'écoulement doux de l'eau. Pour le cinquième solide de Platon, le dodécaèdre, Platon remarque obscurément, « le dieu utilisé pour arranger les constellations sur tout le ciel ». Platon mettait en correspondance le dodécaèdre avec le Tout (Phédon, 110b ; Timée, 55c), parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a nommé ce cinquième élément, aithêr (aether en latin, « éther » en français) et a postulé que l'univers était fait de cet élément, et qu'il était substantiel à tous les autres, qu'il les contenait tous. Modèle de Système solaire par des modèles de solides de Platon de Kepler issu du Mysterium Cosmographicum (1596) Speusippe, le successeur de Platon à l'Académie (en 348 av. J.-C.) a repensé la tradition pythagoricienne sur les cinq solides (Pythagore, Hippase, Archytas). Euclide a donné une description mathématique complète des solides de Platon dans les Éléments (env. 300 av. J.-C.) ; le dernier livre (livre XIII) qui est consacré à leurs propriétés. Les propositions 13–17 dans le livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport du diamètre à la sphère circonscrite à la longueur des arêtes. Dans la proposition 18, il argumente qu'il n'existe pas plus de polyèdres réguliers convexes. En effet, Pour être régulier, un polyèdre doit posséder le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360° (voir démonstration4). Beaucoup des informations dans le livre XIII proviennent probablement du travail de Théétète. 4 Au XVIe siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler essaya de trouver une relation entre les cinq planètes connues à l'époque (en excluant la Terre) et les cinq solides de Platon. Dans le Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler présenta un modèle de Système solaire dans lequel les cinq solides étaient fixés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Les six sphères correspondaient chacune aux planètes (Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés de l'intérieur vers l'extérieur, le premier étant l'octaèdre, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et finalement le cube. De cette manière, la structure du système solaire et les relations de distances entre les planètes étaient dictées par les solides de Platon. Vers la fin, l'idée originale de Kepler a été abandonnée, mais de cette recherche émergèrent la découverte des solides de Kepler, la constatation que les orbites des planètes ne sont pas des cercles, et les lois du mouvement planétaire de Kepler pour lesquelles il est maintenant célèbre. Chaque solide de Platon répond à la formule d'Euler4, démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, obtenue avec un nombre F de faces, A d'arêtes et S de sommets : F + S – A = 2 Propriétés combinatoires Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si 1. Toutes ses faces sont des polygones réguliers convexes isométriques, c'est-à-dire superposables, 2. Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes 3. Le même nombre de faces se rencontre à chacun de ses sommets. Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {p, q} où p = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et q = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet). Le symbole {p, q}, appelé le symbole de Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci- dessous. Polyèdre Sommets Arêtes Faces Symbole de Schläfli Configuration de sommet (en) 5 Tétraèdre 4 6 4 triangles équilatéraux {3, 3} 3.3.3 Hexaèdre 8 12 6 carrés {4, 3} 4.4.4 Octaèdre 6 12 8 triangles équilatéraux {3, 4} 3.3.3.3 Dodécaèdre 20 30 12 pentagones réguliers {5, 3} 5.5.5 Icosaèdre 12 30 20 triangles équilatéraux {3, 5} 3.3.3.3.3 Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (S), des arêtes (A) et des faces (F) peuvent être déterminées à partir de p et q. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir : L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler : Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en topologie algébrique il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la sphère est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement S, A et F : 6 Note : échanger p et q intervertit F et S laissant A inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous). Classification C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite. Démonstration géométrique L'argument géométrique suivant est très similaire à uploads/Litterature/ solide-de-platon.pdf