Ibou SENE, professeur de Mathématiques. ibselam85@yahoo.fr Tel : 772312173. SEN

Ibou SENE, professeur de Mathématiques. ibselam85@yahoo.fr Tel : 772312173. SENEMATHS 3ème 1 Ibou SENE, professeur de Mathématiques. ibselam85@yahoo.fr Tel : 772312173. SENEMATHS 3ème 2 Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction. Ils utilisaient un système d'écriture des nombres additionnels (numération égyptienne). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familiers du calcul fractionnaire (basé uniquement sur les inverses d'entiers naturels) et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position. Ils utilisaient une approximation fractionnaire. Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données. On découvre que les Chinois avaient développé des méthodes de calcul et de démonstrations qui leur étaient propres : arithmétique, fractions, extraction des racines carrées et cubiques, mode de calcul de l'aire du disque, volume de la pyramide et méthode du pivot de Gauss. Leur développement des algorithmes de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant qu'ils utilisaient un système décimal positionnel (numération chinoise). Ils sont aussi à l'origine d'abaques les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Les mathématiciens musulmans vont considérablement enrichir les mathématiques, développant l'embryon de ce qui deviendra l'algèbre, répandant le système décimal indien avec les chiffres improprement appelés chiffres arabes et développant des algorithmes de calculs. Ibou SENE, professeur de Mathématiques. ibselam85@yahoo.fr Tel : 772312173. SENEMATHS 3ème 3 CHAPITRE 1: RACINE CARREE Durée : 12 heures Objectifs de la leçon: A la fin de ce chapitre, l’élève doit être capable de : - Connaître la définition et la notation de la racine carrée d'un nombre positif ou nul; - Calculer la valeur exacte ou une valeur approchée d’une racine carrée - Connaître la notation IR. - Calculer une valeur numérique d’une expression littérale dans IR - Connaître et utiliser les propriétés de la racine carrée - Rendre rationnel le dénominateur d’un quotient - Comparer des réels avec des radicaux - Connaître et utiliser les propriétés de la valeur absolue d’un réel - Ecrire sans radical la racine carrée du carré d’un nombre - Déterminer la valeur exacte d’une expression comportant un radical - Déterminer une valeur approchée d’une expression comportant un radical : à partir d’un encadrement de ce radical ou avec la calculatrice. Sources et supports pédagogiques : Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, éditions du Renouveau Pédagogique, Inc., Montréal, 1973. Guides pédagogiques 3ème, Guide d’usage 3ème, CIAM, Collection Excellence, Documents stagiaires, Internet. Matériel et supports didactiques : -Pour le professeur, il lui faut une règle, craie, éponge et tableau propre. -Pour l’élève, il lui faut le matériel géométrie complet, les cahiers de cours et d’exercices, des stylos et crayons, une calculatrice. Plan du cours : (Voire le cours) Pré-requis: Egalités usuelles ; Pythagore. Introduction : La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux entiers). L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels. Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage ! Ibou SENE, professeur de Mathématiques. ibselam85@yahoo.fr Tel : 772312173. SENEMATHS 3ème 4 Déroulement de la leçon : I. Définitions et notations, valeur exacte et valeur approchée : 1) Activité : a) Calcule la longueur d’un côté d’un carré de 36 cm2 d’aire. b) Soit x la longueur d’une diagonale de ce carrée. Détermine la valeur de x2. c) Encadre x par deux nombres entiers naturels consécutifs. d) Donne une valeur approchée de x à une unité près par défaut. e) Donne une valeur approchée de x à deux unités près par excès. 2) Définitions et notations : Soit a un nombre rationnel positif ou nul, on appelle racine de a, le nombre positif ou nul dont le carré est a. On le note a . Le symbole « » est appelé radical et le réel a est le radicande. a se lit « racine carrée de a » 3) Conséquence immédiate de la définition : a a = )² ( et = ² a ǁ a ǁ ; Exemples 3 9 ) 3 ( 2 = = − et 3 3 = − donc 2 ) 3 (− = 3 − =3 3 3 9 32 = = = ; 5 25 = 1 1 = NB : On ne peut pas parler de la racine carrée d’un nombre réel négatif. 4) Valeur exacte et valeur approchée : Soit la racine carrée de 7, elle se note 7 . La valeur exacte de ce nombre est égale à 7 7 =2,64575131….. 2, 645 est la valeur approchée à 0,001 ( 10-3) près par défaut et 2,646 est la valeur approchée par excès de 7 . 5) Exercice d’application : Soit B= 11. a) Calcule B2. b) Donne la valeur exacte de B. c) Détermine la valeur approchée de B à deux unités près par défaut. d) Donne la valeur approchée de B à 0,01 près par excès. e) Encadre B à 10-2 près. II. Nombres irrationnels : ensemble IR des nombres réels : 1) Activité : a) A l’aide d’une calculatrice, détermine : 3 , 49 , 2 , π, 196 b) Parmi ces nombres, quels sont ceux qui ne sont pas des nombres rationnels ? Ceux qui sont des nombres rationnels ? ; 0 0 = Ibou SENE, professeur de Mathématiques. ibselam85@yahoo.fr Tel : 772312173. SENEMATHS 3ème 5 2) Définitions et notations :  Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels.  Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment l’ensemble IR des nombres réels.  L’ensemble des nombres réels positifs est noté IR+ : intervalle [0 ; +∞[  L’ensemble des nombres réels négatifs est noté IR ̶ : intervalle] ̶ ∞ ; 0]  L’ensemble des nombres réels non nuls est noté IR* : intervalle] ̶ ∞ ; 0[U] 0 ; + ∞ [  L’ensemble des nombres réels positifs non nuls est noté IR* + : intervalle] 0; + ∞ [  L’ensemble des nombres réels négatifs non nuls est noté IR* ̶ : intervalle] ̶ ∞ ; 0 [  On a IN c Z c ID c Q c IR. 3) Exercice d’application: Recopie et complète les pointillés par ∈ ou ∉ : 8 …IR; π…Q ; 1…IR ̶ ; ̶ 12 …Q; 09 , 0 … IR* + ; 2π….Q; 0, 03…IR* III. Propriétés de la racine carrée: 1) Activité : Soient les nombres x= 4 × 25 ; y = 25 4x ; z = √ √ ; w =   . a) Calcule x et y, puis compare les résultats obtenus. b) Fais de même pour z et w. 2) Propriétés : a) La racine carrée du produit de deux nombres réels positifs est égale au produit des racines de ces deux réels. Autrement dit : si a alors IR b et IR a , + + ∈ ∈ ab b = × Exemple : 9 4x = 4 x 9 36 = 2x 3 6= 6 vrai b) Le quotient des racines carrées de deux nombres réels positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux réels. Autrement dit, si alors IR b et IR a , ; * + + ∈ ∈ b a b a = . En particulier b b 1 1 = Exemples : 5 4 25 16 25 16 = = Remarque : a et b étant deux nombres réels positifs ou nuls, si a = b, alors a= b2 Attention : Si donc ab a on b et a 0 0 0 ≥ ≤ ≤ a et b n’existent pas dans IR, mais ab existe. Exemple : 2 − et 3 − n’existent pas dans IR, mais 6 ) 3 ( ) 2 ( = − × − existent car ( ) ( ) 6 3 2 = − × − Ibou SENE, professeur de Mathématiques. ibselam85@yahoo.fr Tel : 772312173. SENEMATHS 3ème 6 Erreur fréquente : Certains qui apprennent mal leurs leçons, ont tendance à commettre les erreurs suivantes : b a b a ou b a b a − = − + = + (faux) . Contre-exemples pour illustrer la fausseté de ces résultats : 7 3 4 9 16 = + = + et 5 25 9 16 = = + , on voit bien que 7≠5 donc 9 16 9 16 + ≠ + 2 3 5 9 25 = − = − et 4 16 9 25 = = − 2≠4, donc 9 25 9 25 − uploads/Litterature/ sunumaths-document-2.pdf

Tags
littérature mathématiques. professeur sene senemaths d’une
Documents similaires
  • 24
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager