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CPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée 4h L

CPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée 4h L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ⋆⋆⋆ On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. ⋆⋆⋆ Déﬁnitions et notations Dans tout le problème, K = R ou C et E, F deux K-espace de normés de dimension ≥1. Si A ⊂E, on désigne par diamètre de A l’élément de ¯ R : δ(A) = sup x,y∈A ∥x −y∥. Si G est un K-espace vectoriel, x ∈G et r > 0, on désigne par BG(x, r) la boule de G de centre x et de rayon r. Lc(E, F) désigne l’ensemble des applications linéaires continues de E vers F. On rappelle que Lc(E, F) muni de la norme subordonée 9 9 est un espace vectoriel normé et si de plus E = F alors Lc(E) est une algèbre normée. Un espace vectoriel normé complet est dit de Banach. Isom(E, F) désigne l’ensemble des isomorphismes de Lc(E, F). Si f est une application et n ∈N, f (n) désigne la dérivée nime, lorsqu’elle existe, de f. ∥f∥∞= sup x∈[0,1] |f(x)| est une norme sur l’espace vectoriel C1([0, 1], K). Une application f : E →F est dite ouverte si l’image directe de tout ouvert de E est un ouvert de F. Soit fn une suite d’applications de E vers F. On dit que f converge simplement vers f si ∀x ∈E, fn(x) →f(x). Ce problème comporte 6 parties : Une première partie où l’on va démontrer démontrer des propriétés qui seront utiles dans la suite. Le but de la deuxième partie est de démontrer le théorème de Baire : "Dans un Banach, toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense". Dans les autres parties on étudiera 4 théorèmes importants en analyse fonctionnelle ainsi que quelques applications. Première partie I : Préliminaire : 1: Soit x ∈E, r ∈R avec r > 0. 1 - a: Montrer que B(x, r) = x + rB(0, 1) 1 - b: Soit f ∈L(E, F). Montrer que f(B(x, r)) = f(x) + rf(B(0, 1)). 2: Soit A ⊂E. Montrer que A est dense dans E ssi pour tout ouvert non vide O ⊂E, A ∩O ̸= φ. 3: On suppose que E est Banach. Soit (An)n une suite décroissante de parties fermées non vides de E telle que δ(An) →0. Montrer que \ n∈N An ̸= φ. 4: Soit f : E →F continue et A ⊂E. Montrer que f( ¯ A) ⊂f(A). 5: On suppose dans cette question que F est Banach. Montrer que (Lc(E, F), 9 9) est un espace de Banach. 6: Soit G un sous espace vectoriel de E avec G ̸= E. Montrer que ˚ G = φ. Tournez la page svp www.mathlaayoune.webs.com 1/3 mathlaayoune@gmail.com CPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune Deuxième partie II : Théorème de Baire : On suppose dans cette partie que E est Banach. Soient (Un)n∈N une suite d’ouverts de E dense dans E et V un ouvert non vide de E. 1: 1 - a: Montrer qu’il existe un ouvert (V0) non vide de E telle que V0 ⊂U0 ∩V . 1 - b: Montrer qu’il existe un ouvert (V1) non vide de E telle que V1 ⊂U1 ∩V0 et δ(V1) ≤1. 1 - c: Généralement, montrer qu’il existe une suite (Vn) d’ouverts non vides de E telle que ∀n ≥1, Vn ⊂Un ∩Vn−1 et δ(Vn) ≤ 1 2n−1 . 2: En déduire que \ n∈N Un est dense dans E (Théorème de Baire). 3: Soit (Fn)n∈N une suite de fermés de E d’intérieur vide de E. Montrer que [ n∈N Fn est d’intérieur vide. 4: En déduire que E ne peut pas être réunion dénombrable d’une suite de fermés d’intérieurs vides. 5: Montrer que R n’est pas dénombrable. 6: On suppose dans cette question que E est de dimension inﬁnie. On veut montrer, par l’absurde, que E ne peut pas avoir une base dénombrable. Supposons alors que E admet une base dénombrable B = (en)n∈N. 6 - a: Montrer que ∀n ∈N, Fn = Vect{e1, . . . , en} est fermé d’intérieur vide. 6 - b: Conclure. 6 - c: Montrer que K[X] n’est complet pour aucune norme. Troisième partie III : Théorème de l’application ouverte - Théorème d’isomorphisme de Banach - Théorème du graphe fermé : Dans cette question, on suppose que E et F sont des espaces de Banach. 1: Soit f ∈Lc(E, F) surjective. 1 - a: On pose ∀n ∈N, Fn = f(BE(0, n)). Montrer que Fn + Fn ⊂F2n. 1 - b: Montrer que ∃n ∈N, ∃ε > 0 tels que BF (0, ε) ⊂F2n. 1 - c: En déduire que ∃r > 0 tel que BF (0, r) ⊂f(BE(0, 1)). 1 - d: En déduire que ∃r′ > 0 tel que BF (0, r′) ⊂f(BE(0, 1)). 1 - e: Montrer que l’application f est ouverte (Théorème de l’application ouverte). 2: Soit u ∈Lc(E, F) bijective. Montrer que u−1 ∈Isom(F, E) (Théorème d’isomorphisme de Banach). 3: Soit N1 et N2 deux norme sur E telles que (E, N1) et (E, N2) soient de Banach. Montrer que si N1 plus ﬁne que N2 alors N1 et N2 sont équivalentes. 4: Soit v ∈L(E, F). 4 - a: Montrer que si v est continue alors son graphe est fermé dans E × F. 4 - b: On suppose que le graphe de v est fermé dans E × F. Montrer que N : x 7→∥x∥E + ∥v(x))∥F est une norme sur E. 4 - c: Montrer que (E, N) est un espace de Banach. 4 - d: Montrer que v est continue. Conclure (Théorème du graphe fermé). Quatrième partie IV : Théorème de Banach-Steinhaus : Dans cette partie, E est supposé de Banach. Soit (fi)i∈I une suite d’éléments de Lc(E, F). 1: Montrer que ∀n ∈N, Fn = \ i∈I {x ∈E, ∥fi(x)∥≤n} est un fermé. 2: On suppose que ∀x ∈E, (fi(x))i∈I est borné. 2 - a: Montrer que [ n∈N Fn = E. 2 - b: En déduire que ∃n ∈N, ∃r > 0, ∃x0 ∈E, B(x0, r) ⊂Fn. 2 - c: Montrer que ∀i ∈I, ∀z ∈E, ∥z∥≤1 ⇒∥fi(z)∥≤2n r . Tournez la page svp www.mathlaayoune.webs.com 2/3 mathlaayoune@gmail.com CPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune 2 - d: En déduire que (fi)i∈I est bornée (Théorème de Banach-Steinhaus). 3: On suppose que (fi)i∈I n’est pas borné. 3 - a: Montrer par l’absurde que ∀n ∈N, Fn = \ i∈I {x ∈E, ∥fi(x)∥≤n} est d’intérieur vide. 3 - b: Montrer que {x ∈E/(fi(x))i∈I n’est pas borné} est dense dans E. Cinquième partie V : Deux contre-exemples lorseque E n’est pas un Banach : 1: 1 - a: Montrer que ∀n ∈N, fn(P) = P (n)(0) est linéaire continue sur (R[X], ∥∥∞) et calculer ∥fn∥. 1 - b: Montrer que ∀P ∈R[X] la suite (fn(P))n∈N est bornée. Conclure. 2: 3: Soit la suite fn(x) = » x2 + 1 n de l’espace C1([0, 1], R) muni de la norme ∥∥∞. 3 - a: Montrer que (fn) est de Cauchy. 3 - b: Soit g : x 7→|x|. Montrer que ∥fn −g∥∞→0. En déduire que C1([0, 1], R) n’est pas complet. 3 - c: Montrer que ∀n ∈N∗, un(f) = n(f( 1 n) −f(0)) est linéaire continue sur (C1([0, 1], R), ∥∥∞) et calculer ∥un∥. 3 - d: Montrer que ∀f ∈(C1([0, 1], R) la suite (un(f))n∈N∗est bornée. Conclure. Sixième partie VI : Deux applications du théorème de Banach-Steinhaus : Dans cette partie on suppose que E est un Banach. 1: Soit (un) une suite d’éléments de Lc(E, F) qui converge simplement vers u. 1 - a: Montrer que u est linéaire. 1 - b: Montrer que (un) est bornée. En déduire que u est continue. 2: Soit B : E × F →G une application bilinéaire. On pose : ∀y ∈F, uy : x ∈E 7→B(x, y) et ∀x ∈E, vx : y ∈F 7→B(x, y). On suppose de plus que ∀x ∈E, ∀y ∈F uy et vx sont continues. 2 - a: Soit x ∈E. Montrer que la famille (vx(y))∥y∥≤1 est bornée. 2 - b: En déduire ∃M ≥0, ∀x ∈E, ∀y ∈F tels que ∥x∥≤1 et ∥y∥≤1 on a ∥B(x, y)∥≤M. 2 - c: Montrer que B est continue sur E × F. ∗Fin ∗ ∗ www.mathlaayoune.webs.com 3/3 mathlaayoune@gmail.com uploads/Litterature/ theoreme-de-baire-et-ces-applications.pdf