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MPSI : 2 et 5. MPSI Lycée Moulay Youssef Rabat 2008-2009 Prépa G.S. High Tech D

MPSI : 2 et 5. MPSI Lycée Moulay Youssef Rabat 2008-2009 Prépa G.S. High Tech Devoir commun surveillé n°6 Lundi 9 Mars 2009 Durée 4h Exercice2. 1/ Montrer que : 1 1 0 , ; n p p k p n p k n p C C • − + − + = ∀ ∈ = ∑ ¥ . 2/ Montrer que le nombre de solutions de l’équation ( E ) : 1 2 ... p x x x n + + + = d’inconnue 1 2 ( , ,..., ) p p x x x ∈¥ est 1 1 p n p C − + −. 3/ Pour n un entier naturel non nul, on note { } 1,2,..., n E n = . 3.a/ Quel est le nombre d’applications de n E vers p E ? 3.b/ On note , n p F l’ensemble des applications de n E vers p E croissantes et , n p S l’ensemble des solutions de l’équation ( E ). Montrer que l’application ϕ définie de , n p F vers , n p S par : { } { } { } ( ) 1 1 1 , ; ( ) ( ( 1 )), ( ( 2 )),..., ( ( )) n p f F f card f card f card f p ϕ − − − ∀∈ = est bijective. En déduire le nombre d’applications de n E vers p E croissantes Problème1. On désigne par E l’ensemble des suites réelles. Pour u E ∈ , on note ( ) u n au lieu de n u le terme général d’indice n de la suite u. On rappelle que ( , ) E + est un groupe commutatif dont l’élément neutre est la suite nulle notée 0. Pour , u v E ∈ , on appelle convolé de la suite u par la suite v, la suite u v E ∗∈ définie par : 0 ,( )( ) ( ) ( ) n k n u v n u k v n k = ∀∈ ∗ = − ∑ ¥ La loi de composition interne ∗ sur E ainsi définie est appelée le produit de convolution des suites réelles. 1.1/ Montrer que ∗ est commutative est associative. 1.2/ On note e la suite réelle définie par : (0) 1 e = et , ( ) 0 n e n ∗ ∀∈ = ¥ . Montrer que e est élément neutre pour ∗ . 1.3/ Montrer que ∗ est distributive par rapport à +. 1.4/ Que dire de la structure de ( , , ) E + ∗ ? 2.1/ Soit r ∗ ∈¡ et u la suite réelle définie par : , ( ) n n u n r ∀∈ = ¥ Montrer que u est inversible dans ( , , ) E + ∗ et déterminer son inverse. 2.2/ on désigne par F l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang, c'est-à- dire u F ∈ si et seulement si N ∃ ∈¥ tel que , ( ) 0 n N u n ∀≥ = . Montrer que F est un sous anneau de( , , ) E + ∗. 2.3/ Soit : f E E → une application définie par : , ( ) u E f u v E ∀∈ = ∈ avec v est donnée par : , ( ) ( 1) ( ) n n v n u n ∀ = − Montrer que f est un automorphisme involutif de l’anneau( , , ) E + ∗. 3/ On se propose maintenant de déterminer les éléments inversibles de l’anneau( , , ) E + ∗. 3.1/ Soit u un élément inversible de l’anneau( , , ) E + ∗. Montrer que (0) 0 u ≠ . 3.2/ Inversement soit u un élément de E tel que (0) 0 u ≠ , montrer que u est inversible. 4/ Etude de l’intégrité de l’anneau( , , ) E + ∗. Soient , u v E ∈ tels que 0 u ≠ et 0 v ≠ . On pose { } min : ( ) 0 p n u n = ∈ ≠ ¥ et { } min : ( ) 0 q n v n = ∈ ≠ ¥ . 4.1/ Justifier l’existence de p et q. 4.2/ Montrer que ( )( ) 0 u v p q ∗ + ≠ puis conclure. Problème2. Partie1. Autour de la moyenne de Cézaro. Pour( ) n u ∈ ¥ ¡ , on note 1 0 1 n n k k v u n − = = ∑ avec 1 n ≥. 1.a/ Montrer que si ( ) n u converge vers l ∈¡ alors 1 ( ) n n v ≥ converge aussi vers l. 1.b/ Montrer que si ( ) n u tend vers +∞ alors 1 ( ) n n v ≥tend vers +∞. En déduire que si ( ) n u tend vers −∞ alors 1 ( ) n n v ≥tend vers −∞. 2/ Soit( ) n u ∈ ¥ ¡ , on note 1 n n n w u u + = − . Montrer que si ( ) n w tend vers une limite α ∈¡ alors :lim n u n α = 3.a/ Soit( ) n u ∈ ¥ ¡ une suite à termes strictement positifs, montrer que si 1 lim n n u u β + = alors lim n n u β = . 3.b/ En déduire la limite de la suite de terme général : 1 1.3.5...(2 1) n n n − 4.a/ Soit 1 ( ) n n α ≥ une suite réelle à termes strictement positifs telle que 1 lim n k k α = = +∞ ∑ et soit 1 ( ) n n u ≥ une suite réelle telle que lim n u a = ∈¡ . Montrer que : 1 1 lim n k k k n k k u a α α = = = ∑ ∑ . 4.b/ En déduire que si 1 ( ) n n x ≥ et 1 ( ) n n y ≥ sont deux suite réelles telles que : 1, 0 n n y ∀≥ > avec 1 lim n k k y = = +∞ ∑ et n n x y : alors 1 1 n n k k k k x y = = ∑ ∑ : . Partie2. Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle I de ¡ contenant 0. On suppose qu’au voisinage de 0, ( ) ( ) f x x ax x β β = − + o avec 0 a > et 1 β > . On considère la suite définie par la donnée de son premier terme 0 u et la relation récurrente : 1 ( ) n n u f u + = 5.a/ Montrer qu’il existe un réel 0 h > tel que ] [ ] [ ( 0, ) 0, f h h ⊂ et ] [ 0, ; ( ) x h f x x ∀∈ < . En déduire que pour ] [ 0 0, u h ∈ , la suite ( ) n u est bien définie. On suppose désormais ] [ 0 0, u h ∈ . 5.b/ Montrer que la suite ( ) n u converge vers 0. 5.b/ Soit γ ∈¡ , écrire le développement limité de ( ( )) f x γ au voisinage de 0 à l’ordre 1 γ β + −. En déduire une valeur de γ pour laquelle la suite de terme général 1 n n u u γ γ + − converge vers une limite * l ∈¡ . 5.c/ En déduire un équivalent de n u . 6/ Application. Pour les fonctions suivantes, donner un intervalle maximal ] [ 0, J h + = ⊂¡ tel que pour 0 u J ∈ la suite ( ) n u est bien définie et donner un équivalent de n u . 1( ) x f x xe− = , 2( ) sin f x x = Partie3. On considère la suite ( ) n u définie par 0 u ∈¡ et 1 , n n n n u u e− + ∀∈ = + ¥ . 7/ Montrer que( ) n u est strictement croissante et tend vers +∞. On pose par la suite n u n v e = . 8.a/ Montrer que la suite 1 ( ) n n v v + − tends vers 1. 8.b/ En déduire un équivalent de n v puis le premier terme du développement asymptotique de n u . 9.a/ Montrer que : 1 1 1 1 2 2 n n v v n n +   − −= +     o . 9.b/ En déduire les deux premiers termes du développement asymptotique de n v . 9.c/ Déterminer alors les deux premiers termes du développement asymptotique de n uploads/Litterature/ devoir-surveille-6-structure-algebrique.pdf