Processus aléatoires Thomas Budzinski ENS Paris, 2017-2018 Bureau V2 thomas.bud

Processus aléatoires Thomas Budzinski ENS Paris, 2017-2018 Bureau V2 thomas.budzinski@ens.fr TD 7 : Martingales, théorème d’arrêt Corrigé Vendredi 27 Octobre 1 Temps d’arrêt Exercice 1 (Vrai ou faux) Soit (Sn) une marche aléatoire simple symétrique sur Z et Fn = σ(S0, S1, . . . , Sn). Lesquelles des variables suivantes sont des temps d’arrêt pour (Fn) ? 1. T1 = min{n ≥0|Sn = 2017}, 2. T2 = min{n ≥2017|Sn = Sn−2017}, 3. T3 = min{n ≥0|Sn = Sn+2017}, 4. T4 = min{n ≥T1|Sn = 0}, 5. T5 = max{n ∈[ [0, 2017] ]|Sn = 0}, 6. T6 = min{n ∈[ [0, 2017] ]|∀m ∈[ [0, 2017] ], Sm ≤Sn}. Solution de l’exercice 1 Les temps T1, T2 et T4 sont des temps d’arrêts, car à chaque fois l’événement {T ≤n} ne dépend que de (S0, S1, . . . , Sn). En revanche, T3, T5 et T6 n’en sont pas puisque les événements {T3 = 0}, {T5 = 0} et {T6 = 0} ne sont pas F0-mesurables. Exercice 2 (Ce qui peut arriver, arrivera) Soit T un temps d’arrêt pour une filtration (Fn)n≥0. On suppose qu’il existe ε > 0 et n0 ∈N∗tels que pour tout n ≥0, on a p.s. P(T ≤n + n0|Fn) > ε. Montrer que T est fini presque sûrement et que E[T] < +∞. Solution de l’exercice 2 On montre par récurrence sur k que pour tout k ≥0 : P(T ≥kn0) ≤(1 −ε)k. C’est vrai pour k = 0 et on a P(T ≥(k + 1)n0) = E  1T ≥kn01T ≥(k+1)n0  = E [1T ≥kn0P (T ≥kn0 + n0 | Fkn0)] ≤ E [1T ≥kn0(1 −ε)] ≤ (1 −ε)k+1, par hypothèse de récurrence. On en déduit aisément que E[T] < +∞et en particulier que T est presque sûrement fini. Remarque Il s’agit d’une généralisation de la question 1 de l’exercice 9 du TD 5. 1 2 Martingales et marches aléatoires Exercice 3 (À la pêche aux martingales) Soit (Sn) une marche aléatoire simple symétrique sur Z, et Fn = σ(S1, · · · Sn). 1. Montrer que (Sn) est une martingale pour la filtration (Fn). 2. Montrer que (S2 n −n) est une martingale pour la filtration (Fn). 3. Montrer que (S3 n −3nSn) est une martingale pour la filtration (Fn). 4. Soit P(X, Y ) un polynôme à deux variables. Montrer que (P(Sn, n)) est une martingale pour la filtration (Fn) si pour tous s, n ∈Z, on a P(s + 1, n + 1) −2P(s, n) + P(s −1, n + 1) = 0. 5. Soit α ∈R. Trouver β ∈R tel que exp(αSn −βn) est une martingale pour (Fn). Solution de l’exercice 3 On note Xn = Sn −Sn−1 les pas de la marche aléatoire. 1. On a E[Sn+1|Fn] = E[Sn + Xn+1|Fn] = Sn + E[Xn+1] = Sn par indépendance des accroissements. 2. On a E  S2 n+1|Fn  = E  S2 n|Fn  + 2SnE [Xn+1|Fn] + E  X2 n+1|Fn  = S2 n + 1. On a donc E  S2 n+1 −(n + 1)|Fn  = S2 n −n, donc on a bien une martingale. 3. Le calcul est similaire : E  (Sn+1)3 −3(n + 1)Sn+1|Fn  = S3 n + 3S2 nE [Xn+1|Fn] + 3SnE  X2 n+1|Fn  + E  X3 n+1|Fn  − 3(n + 1)E [Sn+1|Fn] = S3 n + 3Sn −3(n + 1)Sn = S3 n −3nSn. 4. On calcule E [P(Sn+1, n + 1)|Fn] = 1 2P(Sn + 1, n + 1) + 1 2P(Sn −1, n + 1). Il suffit donc de P(X + 1, n + 1) −2P(X, n) + P(X −1, n + 1) = 0. 5. On calcule E  eαSn+1|Fn  = E  eαSneαXn+1|Fn  = eαSnE  eαXn+1|Fn  = eα + e−α 2 eαSn. Il faut donc choisir β = ln (ch(α)). Exercice 4 (Temps de sortie II, le retour) Soit (Sn)n≥0 une marche aléatoire simple symétrique sur Z. Soient a, b ≥0 et T = min{n ∈N, Sn = −a ou Sn = b}. On rappelle que T < +∞p.s.. 1. En utilisant la première martingale de l’exercice précédent et le théorème d’arrêt, redémontrer P (ST = b) = a a + b. 2. En utilisant la seconde martingale de l’exercice précédent et le théorème d’arrêt, redémontrer E[T] = ab. 2 Indication : Le temps d’arrêt T n’est pas borné. Il faut donc passer par des temps d’arrêt de la forme T ∧t = min(T, t). Solution de l’exercice 4 1. Soit t > 0. Alors T ∧t est un temps d’arrêt borné, auquel on peut appliquer le théorème d’arrêt : E[ST ∧t] = E[S0] = 0. De plus, T < +∞p.s. donc ST ∧t converge p.s. vers ST , et on a −a ≤ST ∧t ≤b pour tout t. Par convergence dominée, on a donc E[ST ] = lim t→+∞E[ST ∧t] = 0. D’autre part, en notant p = P (ST = b), on a 0 = E[ST ] = (1 −p)(−a) + pb, d’où p = a a+b. 2. Soit t > 0. En appliquant le théorème d’arrêt à S2 n −n et au temps d’arrêt T ∧t, on obtient E[T ∧t] = E[S2 T ∧t]. Comme dans la première question, en utilisant T < +∞p.s., le membre de gauche converge vers E[T] par convergence monotone et le membre de droite vers E[S2 T ] par convergence dominée. On a donc, en utilisant la première question : E[T] = E[S2 T ] = b a + b(−a)2 + a a + bb2 = ab. Remarque Si vous n’êtes pas fatigués par les calculs : en utilisant la troisième martingale de l’exercice précédent (ainsi que les deux questions précédentes), on peut calculer E[T|ST = b] = 1 3 2ab + b2 . Exercice 5 (Martingales et marche biaisée) Soit p ̸= 1 2 et (Sn)n≥0 une marche aléatoire biaisée sur Z, i.e. Sn = X1 + · · · + Xn avec Xi i.i.d. et P(Xi = 1) = p et P(Xi = −1) = 1 −p. 1. Trouver α tel que αSn soit une martingale. 2. Soient a, b et T comme dans l’exercice précédent. Calculer P(ST = b). Solution de l’exercice 5 1. On a E[αSn+1|Fn] = αSnE[αXn+1] = αSn pα + (1 −p)α−1 . Le processus (αSn) est donc une martingale ssi pα + (1 −p)α−1 = 1, ce qui est une équation de degré 2 en α. En la résolvant, on obtient α = 1 (ce qui n’est pas très intéressant) ou α = 1−p p . 2. En reprenant exactement le raisonnement de l’exercice précédent (question 1), on trouve P(ST = b) = 1 −αa 1 −αa+b avec α = 1−p p . 3 Notons que si par exemple p > 1 2, alors α < 1 donc, en faisant tendre b vers +∞, on obtient P (T−a < +∞) = 1 −αa = 1 − 1 −p p a pour a ≥0, où T−a = min{n ≥0|Sn = −a}. On en déduit que −min{Sn|n ≥0} suit une loi géométrique de paramètre α = 1−p p . Exercice 6 (Un contre-exemple) Trouver un processus (Mn)n≥0 avec E[|Mn|] < +∞pour tout n et tel que E[Mn+1 | Mn] = Mn pour tout n, mais sans que M soit une martingale. Solution de l’exercice 6 On considère une marche aléatoire simple démarrant de 0 avec des pas indépen- dants ±1, mais au premier retour en 0, la marche est obligée de faire le même pas que son tout premier. Pour n ≥1, on a alors E [Mn+1|Fn] =      Mn si Mn ̸= 0, −1 si Mn = 0 et M1 = −1, 1 si Mn = 0 et M1 = 1. En particulier, E [Mn+1|Fn] ̸= Mn si Mn = 0, donc M n’est pas une martingale. 3 Martingales, chimpanzés et vaisseaux spatiaux Exercice 7 (Singe savant) Un chimpanzé est assis devant une machine à écrire et commence à taper une lettre par seconde. Il tape à chaque fois une lettre choisie uniformément parmi les 26 lettres de l’alphabet, indépendamment des lettres précédentes. On note T le premier temps auquel les 11 dernières lettres écrites par le singe forment le mot “ABRACADABRA”. Le but de l’exercice est de calculer E[T]. Pour cela, on va définir une martingale. On suppose que le singe a juste à côté de lui un sac rempli de beaucoup (beaucoup, beaucoup) de bananes. On joue alors au jeu suivant : juste avant chaque seconde n = 1, 2, 3, . . . un joueur arrive derrière le singe et parie 1 banane avec lui sur l’événement {la n-ième lettre tapée par l’animal est un “A”}. Si il perd, il part (et le singe met 1 banane dans son sac). Si il gagne, il reçoit 26 bananes du singe, qu’il remise immédiatement sur l’événement {la n + 1-ième lettre tapée par l’animal est un “B”}. Si il perd, il part. Si il uploads/Litterature/ td7-processus-corrige.pdf

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