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THÈSE Pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE Spécialité :

THÈSE Pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE Spécialité : Mathématiques-Informatique Arrêté ministérial : 12.1 Présentée par MODESTE Simon Thèse dirigée par GRAVIER Sylvain et codirigée par OUVRIER-BUFFET Cécile préparée au sein Institut Fourier et de MSTII Enseigner l’algorithme pour quoi ? Quelles nouvelles questions pour les mathématiques ? Quels apports pour l’apprentissage de la preuve ? Thèse soutenue publiquement le 5 décembre 2012, devant le jury composé de : Mme BLOCH Isabelle Professeure des Universités émérite, Université Bordeaux 4, Rapporteur M. SOPENA Éric Professeur, Université Bordeaux 1, Rapporteur Mme CASTELA Corine Maître de conférence HDR, Université de Rouen, Examinatrice M. VUILLON, Laurent Professeur des Universités, Université de Savoie, Examinateur M. GRAVIER Sylvain Directeur de Recherche, CNRS et Université Grenoble 1, Directeur de thèse Mme OUVRIER-BUFFET Cécile Maître de conférence, Université Paris-Est Créteil, Co-Directrice de thèse tel-00783294, version 1 - 1 Feb 2013 tel-00783294, version 1 - 1 Feb 2013 tel-00783294, version 1 - 1 Feb 2013 4 tel-00783294, version 1 - 1 Feb 2013 Remerciements Le problème des remerciements exhaustifs est d’une grande complexité : aucun algorithme exact n’est beaucoup plus eﬃcace que l’énumération de toutes les personnes à la surface du globe. Je vais donc me contenter ici d’une heuristique de remerciement, plus rapide mais sans garantie de n’oublier personne... Je tiens tout d’abord à remercier Cécile Ouvrier-Buﬀet et Sylvain Gravier, qui, après avoir accompagné mon travail de Master, ont accepté de m’encadrer pour trois années supplé- mentaires. J’ai beaucoup appris à leurs côtés. Leurs questions et leurs conseils m’ont guidé tout au long de ce travail. Ils ont su me laisser suivre mes propres pistes et être présents quand je me perdais. J’ai sincèrement apprécié de travailler avec eux, de discuter de nos recherches et de tout le reste. Certains doctorants, surprotégés par leurs encadrants, sont parfois coupés de la réalité (pas si idyllique) de la recherche et de l’université. À l’opposé, Cécile et Sylvain m’en ont fait découvrir les rouages, m’ont impliqué dans des projets et poussé à m’investir dans d’autres. Je suis ravi d’être tombé sur de tels encadrants, qui ne limitent pas leur rôle aux aspects scientiﬁques. Merci encore à Sylvain pour tout le reste : les maths, les sms “je fume en bas”, les bières, les discussions sur tout, nos désaccords constructifs, son enthousiasme et ses 12 000 pro- jets/seconde. Merci aussi à Cécile qui m’a fait découvrir les branches et autres chocolats suisses, les coulisses de la DDM et la vodka à la cerise en Pologne ; merci aussi pour les restos partagés en conf et les appels téléphoniques rassurants de ces derniers mois. Isabelle Bloch et Éric Sopena ont accepté d’être rapporteurs de cette thèse. Je les remer- cie pour cela, pour leur eﬃcacité, pour leur lecture attentive de mon manuscrit et leurs remarques qui m’ont aidé à clariﬁer mes idées. Mes remerciements vont aussi à Corine Castela et Laurent Vuillon qui ont accepté de participer au jury de cette thèse. Une partie de mes recherches s’est appuyée sur des interviews de chercheurs. Je remercie ici, anonymement, tous ceux et toutes celles, de chercheur 1 à chercheur 22, qui ont porté un intérêt à mon travail en acceptant de me donner un peu de leur temps pour répondre à mes questions. Je remercie les membres de l’Institut Fourier, quelle que soit leur fonction, que j’ai côtoyés durant ces trois années. Je remercie plus particulièrement les thésards avec qui j’ai partagé les tracas et les euphories de la recherche, en particulier Bashar, Aline, Ximena, Laurent, Camille, Nicolas, Thomas, Ariadna, Gunnar, Élise, Marianne, Maxime, Alix et Mathieu (j’en oublie surement). Je remercie aussi les membres de l’IREM de Grenoble pour leur accueil, les enseignants rencontrés dans un cadre de recherche pour leurs retours, les col- lègues de l’IUT Informatique de Grenoble (en particulier l’équipe des matheux) qui m’ont 5 tel-00783294, version 1 - 1 Feb 2013 guidé dans mes premiers pas dans l’enseignement supérieur, toute l’équipe du département de mathématiques de l’Université de Liège et Michel Rigo en particulier, et mes nouveaux collègues à l’IUFM de Chambéry qui me font découvrir un monde inﬁni de sigles et de réformes... Quand j’ai découvert l’équipe Maths à Modeler et ses actions, j’ai aussi fait la connaissance de nombreuses personnes passionnées, sympathiques et bienveillantes. Je les salue toutes ici. À chaque fois que j’ai ressenti la solitude du didacticien au milieu des matheux Greno- blois, l’ARDM et le groupe des jeunes chercheurs en particulier m’ont permis de me sentir membre d’une communauté de recherche vivante et de parler en détail de certaines de mes préoccupations. Je remercie aussi les young researchers rencontrés à Rzeszów et Faro, mais aussi les moins young researchers de ERME, qui m’ont montré que la didactique française n’est pas tout. Merci encore à tous les amis proches qui m’ont soutenu, questionné et maintenu en contact avec le monde réel. Merci à Claire C, Claire B et Baptiste, merci à Mélaine, Fred M, Fred S et à tous ceux cités plus haut. Une mention particulière doit être faite à Jean Q, qui a été tout à la fois β-testeur de mes idées, soutien moral, support technique, référence scienti- ﬁque en informatique théorique, co-créateur de projets jamais réalisés et même fournisseur de cloud. Je remercie aussi les acteurs de notre projet Palestinien, avec qui j’ai partagé cette expérience incomparable. Je remercie enﬁn toute ma famille (dans un sens très large), à qui je dois beaucoup, et plus spécialement mes parents, pour le goût d’apprendre et l’esprit critique qu’ils m’ont transmis et pour leur soutien moral et logistique sans faille, ainsi qu’Alex et Lucie pour leur humour et peut-être pour m’avoir, malgré eux, donné le goût d’enseigner les maths. Pour terminer, je remercie Camille, la ﬁlle la plus super du monde, de m’avoir supporté (dans presque tous les sens du terme). Sans sa présence à mes côtés, je n’aurai peut-être pas tenu le coup ces trois années. Pour tout le bonheur que tu m’apportes, Camille, merci. 6 tel-00783294, version 1 - 1 Feb 2013 Table des matières Introduction 11 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Algorithme, mathématiques et enseignement . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Contexte en France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Problématique et questions de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Une approche épistémologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 L’enseignement de l’algorithmique en France . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Développement de situations pour la classe . . . . . . . . . . . . . . 17 I Une analyse épistémologique du concept algorithme 19 1 Un premier modèle épistémologique 21 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 Autour du concept d’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1 Qu’est-ce qu’un algorithme ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2 Une formalisation du concept mathématique . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 Qu’est-ce-que l’algorithmique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Exemples caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Cycle eulérien dans un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Tris et permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Aspects de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ these-enseigner-l-x27-algorithme-pour-quoi-pdf.pdf