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SOMMAIRE Publication de l'l. R. E. M. de Strasbourg L E L I V R E d u P R O B L

SOMMAIRE Publication de l'l. R. E. M. de Strasbourg L E L I V R E d u P R O B L E M E fascicule 3 à propos d'un thème mathématique : la parité CEDIC 1973 LYON - PARIS 12, rue du Moulin de la Pointe - 75013 Paris 4 SOMMAIRE © CEDIC 1973 Droits de traduction et de reproduction réservés pour tous pays. Toute reproduction, même partielle, de cet ouvrage est interdite. Une copie ou reproduction par quelque procédé que ce soit, photo graphie, microfilm, bande magnétique, disque ou autre, constitue une contrefaçon passible des peines prévues par la loi du 11 mars 1957 sur la protection des droits d'auteur 5 SOMMAIRE à propos d'un thème mathématique : la parité 6 SOMMAIRE Le LIVRE DU PROBLEME est une oeuvre collective. Trois rédacteurs, animateurs de l'I.R.E.M. ou collaborateurs bénévoles, ont contribué essentiellement à la conception et à la rédaction du présent fascicule. Ils ont bénéficié des conseils de nombreux collègues, de l'I.R.E.M. de Strasbourg ou d'ailleurs. 7 4. SOMMAIRE Première partie: ENONCES 11 1. Entiers pairs, impairs 11 2. Problèmes de poignées de mains 14 3. Problème à deux couleurs 15 Problème de décomposition en parallélogrammes 16 5. Problème du Barman 16 6. Manipulation avec trois pièces de monnaie 17 7. Problème des transistors 18 8. Problèmes de dominos 18 9. Problème du chat et de la souris 20 10. Exercices de charabia 20 11. Signature d'une permutation 20 12. Le problème du chapelier 25 13. Echecs et parité 26 14. L'échiquier 26 15. Le problème du cavalier 29 16. Jeu de dames 32 17. Retour aux échecs 34 18. Coloriage d'une carte en deux couleurs 36 19. Figures tracées sans lever le crayon 39 20. Points, segments, triangles, engrenages 41 Deuxième partie: SOLUTIONS 45 En guise de conclusion 54 Bibliographie 55 8 SOMMAIRE 9 SOMMAIRE Nous proposons ici une collection de questions où la parité joue un rôle prépondérant dans la réponse ou dans la méthode. Ces questions ont en général l'avantage de n'exiger que peu de connaissances mathématiques préalables; elles peuvent donc être abordées à tous les niveaux de la scolarité. Elles s'exposent faci lement dans des situations concrètes, en utilisant des objets fami liers. En les présentant comme des devinettes ou des casse-tête , on bénéficie de l'effet de défi, d'autant plus efficacement que les questions posées sont d'apparence simple. En soulignant l'aspect historique de certains énoncés, on pourra replacer l'élève dans la tradition ludique des Mathématiques. Cela ne signifie en rien qu'il ne s'agit là que d'amusettes. En effet, certains exercices débouchent sur des questions mathéma tiques importantes et tous sont de nature à exiger des démonstra tions rigoureuses. Nous entendons par là que même un élève peu habitué à la nécessité de démontrer ne pourra pas considérer comme une réponse, une idée intuitive. Avertissement Un numéro entre crochets [ ] renvoie à la bibliographie. Un numéro entre doubles crochets [[ ]] renvoie à la solution des exercices, à la fin du fascicule. Rappelons que EE signifie exercice d'exposition, P problème, ED exercice didactique, M manipulation et A application, conformément à la théorie exposée au fascicule l. 10 SOMMAIRE 11 SOMMAIRE Première partie ENONCES Si l'existence des entiers pairs et des entiers impairs est connue très tôt de tout élève, ce dernier n'a pas toujours une bonne connaissance de leur comportement par rapport aux lois de composition sur N (addition, multiplication). Cependant cela lui sera nécessaire dans beaucoup de problèmes. Indiquons ici quelques exercices didactiques très simples. l. Entiers pairs, impairs1 ED Comment peut-on écrire deux entiers consécutifs quel- conques ? Un entier pair quelconque ? Un entier impair quelconque ? La somme de deux entiers impairs est-elle paire ou impaire ? La différence de deux entiers impairs est-elle paire ou impaire ? La somme de deux entiers consécutifs est-elle paire ou impaire ? Le produit de deux entiers consécutifs est-il pair ou impair ? ED Comment peut-on écrire deux entiers pairs consécutifs ? Deux entiers impairs consécutifs ? Montrer que la somme de deux entiers impairs consécutifs est divisible par 4 et que la somme de deux entiers pairs consécutifs ne l'est pas. ED Montrer que le carré d'un entier impair est impair. Montrer qu'un entier impair est la différence de deux carrés. (un peu moins immédiat). 1 L'usage est de désigner un entier arbitraire par l'une des lettres m, n ou p. 12 Application de ce dernier résultat: calculer la somme des n premiers entiers impairs. (Cf. Fascicule l, Chapitre 5, Exem- ple 2). ED A quelle condition la somme de plusieurs entiers impairs est-elle paire ? A quelle condition est-elle impaire ? A quelle condition la somme de plusieurs entiers, les uns pairs, les autres impairs est-elle paire ? Est-elle impaire ? Montrer que la somme de deux entiers est paire, si et seulement si, ils sont de même parité. Montrer que la somme et la différence de deux entiers sont de même parité. ED Plusieurs exercices précédents peuvent être résolus de manière élégante, à l'aide des propriétés de la fonction n è (−1)n (à savoir (−1)n = −1 ⇔ n est impair). On peut aussi présenter des exercices du type suivant: Vérifier que m + n + m² + n² ( 1) 1 − = et que 2 3 4 n + n + n + n ( 1) 1 − = Ces exercices fournissent l'occasion d'étudier le "sous-groupe multiplicatif" Z*2 de Z ce qui permettra de rappeler que Z n'est qu'un anneau, et non un corps. (Z*2 désigne le sous-groupe multiplicatif {−1 ; +1} ). Signalons enfin, pour l'histoire, le rôle primordial qu'ont joué ces propriétés des nombres pairs et impairs dans la plus ancienne démonstration par l'absurde dont on connaisse l'existence. Il s'agit d'une démonstration de l'irrationalité de 2 , irratio nalité qui avait déjà été prouvée par Théodore de Cyrène, comme le rapporte Platon : Supposons qu'il existe deux entiers p et q, premiers entre eux, tels que 2 p/q = . Alors 2 = p²/q² et donc 2 q² = p² . Si p est impair, p² est impair, ce qui est absurde. SOMMAIRE 13 Si p est pair, il existe un entier r tel que p = 2r , donc 2q² = 4 r² , c'est-à-dire q² = 2 r² ce qui implique que q est pair et donc p et q ne seraient pas premiers entre eux, ce qui est encore absurde. Dans le même esprit que les précédents et presque aussi immédiats, voici d'autres exemples d'exercices didactiques. ED Il est d'usage de noter n ! = 1 . 2 . 3 . … . n et n ! ! = 1 . 3 . 5 . … .(2n − 1) Vérifier que n ! ! . 2n . n ! = (2n) ! ED Le but des exercices suivants est de donner des exemples de bilan de parité ou bilan de croissance que l'on fait souvent pour déterminer indépendamment du calcul (soit pour le prévoir, soit pour le vérifier) le signe d'une expression : Etudier le signe des termes de la série du binôme (1 + x)1/2 pour −1 < x < 0 (s'il le faut, on donnera l'expression : α 2 N α α(α -1) α(α-1)...(α - N+1) (1+x) =1+ x+ x +...+ x +... 1! 2! N! ou, plus simplement, l'expression du terme général). Décider, sans faire le calcul, du signe de la dérivée de 2 cos x π π ⎛ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ au point 3 x π = ; de 1 1 x − pour x = 0 . On notera ici l'analogie du comportement du sens de variation des fonctions face à la composition, et de la parité des entiers, face à la multiplication. ED Critère de divisibilité par deux dans les différentes bases de numération : en base dix , un nombre est divisible par 2 si et SOMMAIRE 14 seulement si son dernier chiffre est pair. Qu'en est-il en base deux, trois, quatre, cinq ? Généraliser à une base p quelconque. Voici un exercice un peu plus délicat [[1]] : ED On considère le tableau triangulaire ci contre [1] : Chaque nombre de ce tableau est obtenu en faisant la somme de trois nombres de la ligne précédente, celui qui est juste au-dessus et les deux qui sont situés de part et d'autre de ce dernier (lorsqu'il manque un nombre pour faire cette somme sur les bords, on suppose qu'il y figure un zéro). Montrer que chaque li gne, à partir de la troisième, contient au moins un nombre pair. Ce dernier énoncé est plus un problème qu'un exercice didactique et en cela il se rattache à ceux que nous allons présenter mainte nant. En effet, ces problèmes sont pour la plupart du type "casse tête", c'est-à-dire qu'ils demandent toujours, quelquefois dans des cas fort simples, que l'on "sèche" un peu Cependant, ils ont l'avantage d'être présentés le plus souvent dans des situations concrètes, ce qui les rend plus attrayants ; certains d'entre uploads/Litterature/ a-propos-dun-theme-la-parite.pdf