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THÈSE pour l’obtention du grade de Docteur en Mathématiques de l’Université Par

THÈSE pour l’obtention du grade de Docteur en Mathématiques de l’Université Paris Dauphine Présentée et soutenue publiquement par : Makram Ben Dbabis Octobre 2012 Mod` eles et m´ ethodes actuarielles pour l’´ evaluation quantitative des risques en environnement Solvabilit´ e II JURY : M. Christian HESS (directeur), Professeur émerite à l’Université Paris Dauphine M. LotﬁBELKACEM (rapporteur), Professeur des université, Université de Sousse, Tunisie M. Faysal MANSOURI (rapporteur), Professeur des université, Université de Sousse, Tunisie M. Fréderic Planchet (Examinateur), HDR, Université de Lyon 1 tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 L’Université de Paris Dauphine n’entend donner aucune approbation ni improbation aux opinions émises dans cette thèse. Ces opinions doivent être considérées comme propres à leur auteur. tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 Remerciements Je tiens de prime abord à exprimer toute ma gratitude à mon directeur de thèse, Monsieur le professeur Christian HESS, qui m’a fait le grand honneur d’accepter de diriger cette thèse. Je lui demeure reconaissant pour sa rigueur intellectuelle, ses conseils et surtout sa passion pour la recherche qu’il a su me communiquer tout au long de ces quatres années. Je remercie vivement Messieurs les Professeurs LotﬁBELKACEM et Faysal MANSOURI pour m’avoir fait l’honneur d’accepter de rapporter cette thèse. Enﬁn, je tiens à exprimer plus particulièrement ma reconnaissance à ma famille à laquelle je dois l’abou- tissement de toutes ces années d’études. Je voudrais remercier mon cher papa Ali, ma chère maman Mabrouka et ma chère épouse pour leur soutien inﬁni tout au long de mes études, sans oublier, mon grand père Abd-Allah qui a, jusqu’à ses dernières haures, souhaité qu’il me voit docteur. Un grand merci à toute ma famille qui a toujours su me guider, me soutenir dans tous les choix que j’ai fait, et m’apporter l’équilibre nécessaire à mon épanouissement. Merci à toute ma belle-famille pour leur accueil, leur gentillesse, leur sympathie et pour tous les bons moments passés ensemble. Merci aux amis rencontrés à Dauphine ou ailleurs, que je ne vois pour certains que trop peu souvent, mais qu’il est toujours agréable de retrouver. 5 tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 Résumé Les nouvelles normes prudentielles Solvabilité II se penchent sur question du contrôle de la solva- bilité des acteurs de marché d’assurance et de réassurance. Nous nous sommes proposé dans cette thèse de présenter les moyens techniques permettant la recherche des besoins de couverture de la solvabilité des assureurs se traduisant par la mise en oeuvre d’une probabilité de ruine à moins de 0,5%, dans le cadre des modèles internes. La première partie, en mettant l’accent sur le problème de valorisation économique des passifs d’assurance vie lié aux options incluses dans les contrats d’assurance et donc d’obtention de la distribution de la situation nette à un 1 an et donc de son quantile d’ordre 0.5%, présentra les diﬀérentes approches de modélisation permettant de contourner ces problèmes : – Approche des simulations dans les simulations pûrement simulatoire et trop coûteuse en temps de calcul, – Algorithme d’accéleration des simulations dans les simulations pour contourner les limites de la première approche, – Approche par portefeuille répliquant – Approche par fonction de perte Dans une deuxième partie, l’accent sera mis sur la modélisation des risques techniques mal appré- hendés par les assureurs en développant deux approches stochastiques pour modéliser, dans le cadre d’un modèle interne, les risques de longévité, de mortalité et aussi le risque dépendance. La troisième partie intéressera à l’optimisation du capital économique en mettant en œuvre la réas- surance comme outil de gain en capital économique en proposant des approches de choix optimal en réassurance. Mots clés : Solvabilité II, modèles internes, probabilité de ruine, risques techniques, reassurance, optimisation dynamique . . . 6 tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 Abstruct The new prudential standards, Solvency II, consider the question of controling of insurer and rein- surer’s solvency. In this thesis, we’ve proposed technical solution for solvency capital assessment to keep ruin’s probability under the target of 0.5% aimed by the Solvency II project in internal model prospect. The First part will discuss the problem of economic valorization of life insurance liabilities and will present diﬀerent modeling approaches to determine the net assets value distribution and assess the 0.5% percentile that can solve it : – Nested simulation approach which is too much time consumer, – Nested simulation accelerator, – Replication portfolio approach, – Loss function approach. In the second part, we will focus on biometric risks modeling. Two stochastic modeling approaches was developped in order to model mortality & longevity and morbidity risks. The third part will focuss on capital optimization using reinsurance as a tool of capital reduction. Keyword : Solvency II, Internal model, ruin’s probability, biometric risks, reinsurance, dynamic optimization . . . 7 tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 "Il y’a dans la création des cieux et de la terre et dans la succession de la nuit et du jour, des signes pour ceux qui sont doués d’intelligence" Le Coran tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 Table des matières Introduction générale 1 I Quelques approches de modélisation de capital économique d’assurance vie 5 1 Solvabilité en Assurance Vie 7 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 La notion de capital économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Le bilan économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Univers risque neutre ou univers historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Quelques approches de modélisation du capital économique 15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Qu’est ce qu’un modèle interne ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 L’approche des simulations dans les simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Passage de l’univers de probabilité historique à l’univers de probabilité risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.3 Etude du cas PREFON Retraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.4 Avantages et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Optimisation des simulations dans les simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Algorithme de Loisel et Devineau (2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 i tel-00833856, version 1 - 13 Jun 2013 2.4.2 Approche par quantiles géomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.3 Approche par fonction de profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.4 Optimisation des simulations secondaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 L’approche de Replicating Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.1 Mise en œuvre . . . . . . . uploads/Litterature/ these-makram-ben-dbabis.pdf