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LGL Cours de Mathématiques 2010 _______________________________________________

LGL Cours de Mathématiques 2010 _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ AB Beran - TrigonometrieSurLeCercle-Cours Trigonométrie sur le cercle trigonométrique - 1 - Trigonométrie sur le cercle trigonométrique Propriété: Tout point du cercle trigonométrique détermine un seul angle orienté et tout angle orienté détermine un seul point du cercle trigonométrique: n M M détermine le seul angle orienté XOM ∈ ⇔ ^ Définition: Dans un repère orthonormé du plan, si le point M est l'unique point du cercle trigonométrique déterminé par l'angle orienté x, alors: cosx est l'abscisse du point M sin x est l'ordonnée du point M sin x cosx tan x , si cosx 0 et cot x , si sin x 0 cosx sin x = ≠ = ≠ Par conséquent: Le point M du cercle trigonométrique est le point M(cosx,sin x) Etude des signes des fonctions sinus, cosinus et tangente x est un angle du premier quadrant x est un angle du deuxième quadrant On constate: x sin x cosx tan x cot x 0 0 1 0 0 x 2 ∞ π < < + + + + x sin x cosx tan x cot x 1 0 0 2 x 2 π ∞ π < < π + − − − LGL Cours de Mathématiques 2010 _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ AB Beran - TrigonometrieSurLeCercle-Cours Trigonométrie sur le cercle trigonométrique - 2 - x est un angle du troisième quadrant x est un angle du quatrième quadrant x sin x cosx tan x cot x 0 1 0 3 x 2 π − ∞ π π < < − − + + x sin x cosx tan x cot x 3 1 0 0 2 3 x 2 2 π − ∞ π < < π − + − − Propriétés 1. Tout angle orienté a un cosinus et un sinus. Seuls l'angle droit positif et l'angle droit négatif n'ont pas de tangente. Seuls l'angle nul et l'angle plat n'ont pas de cotangente. 2. Quel que soit l'angle orienté x, 2 2 1 cosx 1 1 sin x 1 cos x sin x 1 Relation fondamentale de la trigonométrie −≤ ≤ −≤ ≤ + = Autres formules de trigonométrie Sous l'hypothèse des formules connues: 2 2 sin x tan x avec cosx 0 et sin x cos x 1 cosx = ≠ + = , établir une formule directe de calcul de la valeur de 2 sin x en fonction de 2 tan x . Résolution: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x sin x tan x (1 sin x)tan x sin x cos x 1 sin x tan x sin x tan x sin x tan x sin x (1 tan x) tan x sin x avec cosx 0 1 tan x = = ⇔ − = − − ⋅ = = ⋅ + = ≠ + LGL Cours de Mathématiques 2010 _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ AB Beran - TrigonometrieSurLeCercle-Cours Trigonométrie sur le cercle trigonométrique - 3 - Sous l'hypothèse des formules connues: 2 2 sin tan avec cos 0 et sin cos 1 cos x x x x x x = ≠ + = , établir une formule directe de calcul de la valeur de 2 cos x en fonction de 2 tan x . Résolution: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 cos tan cos tan 1 cos cos cos cos tan cos 1 cos (1 tan ) 1 1 cos avec cos 0 1 tan x x x x x x x x x x x x x x x x − = = ⇔ ⋅ = − ⋅ + = ⋅ + = = ≠ + Exercice : Calculez la valeur exacte de A, B et C 2 2 2 2 5sin 2cos 3 avec tan 3cos 4sin 4 3cos 4sin 7 avec cot 5sin 2cos 3 2sin 3cos 2 avec cot 4sin 3sin cos 5cos 5 x x A x x x x x B x x x x x C x x x x x − = = + − = = + − = = − − + _______________________________________________________________________________________ Exercices du livre: 64, 65, 66 p. 245/246 et 106, 107, 108 p. 253 LGL Cours de Mathématiques 2010 _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ AB Beran - TrigonometrieSurLeCercle-Cours Trigonométrie sur le cercle trigonométrique - 4 - Formules de changement de quadrants Définitions Deux angles et α β sont supplémentaires ssi α + β = π ⇔β = π −α Deux angles et α β sont anti-supplémentaires ssi β −α = π ⇔β = π + α Deux angles et α β sont opposés ssi 0 α + β = ⇔β = −α Deux angles et α β sont complémentaires ssi 2 2 π π α + β = ⇔β = −α Deux angles et α β sont anti-complémentaires ssi 2 2 π π β −α = ⇔β = + α Pour établir des formules de transformation, nous utilisons les définitions ci-dessus en vue d’obtenir les valeurs des nombres trigonométriques dans les différents quadrants. On suppose en premier lieu que l’angle de référence α soit un angle du premier quadrant. On ramène tous les angles à cet angle α , car on y connaît les valeurs remarquables au premier quadrant. Angles supplémentaires Angles anti-supplémentaires Passage du II au I quadrant Passage du III au I quadrant Nous constatons : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : sin sin : sin sin : cos cos : cos cos : tan tan : tan tan 2 2 ∀α π −α = α ∀α π + α = − α ∀α π −α = − α ∀α π + α = − α π π ∀α ≠ π −α = − α ∀α ≠ π + α = α LGL Cours de Mathématiques 2010 _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ AB Beran - TrigonometrieSurLeCercle-Cours Trigonométrie sur le cercle trigonométrique - 5 - Angles opposés Angles complémentaires Passage du IV au I quadrant Passage du I au I quadrant Nous constatons : ( ) ( ) ( ) : sin sin : sin cos 2 : cos cos : cos sin 2 : tan tan 0: tan cot 2 2 π   ∀α −α = − α ∀α −α = α     π   ∀α −α = α ∀α −α = α     π π   ∀α ≠ −α = − α ∀α ≠ −α = α     Angles anti-complémentaires Angles supérieurs à 2π Passage du II au I quadrant Retour au premier tour de cercle Ces résultats sont faciles à imaginer On constate pour les angles anti-complémentaires : ( ) ( ) ( ) : sin 2 sin : cos 2 cos : tan 2 tan 2 ∀α π + α = α ∀α π + α = α π ∀α ≠ π + α = α : sin cos 2 : cos sin 2 0: tan cot 2 π   ∀α + α = α     π   ∀α + α = − α     π   ∀α ≠ + α = − α     LGL Cours de Mathématiques 2010 _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ AB Beran - TrigonometrieSurLeCercle-Cours Trigonométrie sur le cercle trigonométrique - 6 - Remarques : 1) Ces formules peuvent également être généralisées à un angle α quelconque, n’appartenant pas nécessairement au premier quadrant, sous la condition d’existence de la tangente. 2) On peut constater que tant qu’il n’y pas de 2 π dans l’expression du départ, on garde toujours la même fonction. Par contre, dès que le 2 π apparaît, les fonctions se trouvent changées. 3) Dans toutes ces formules, les signes établis plus tôt sont respectés. Exercices d’application de ces formules Exercice 1 : Simplifiez ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos 2 1) 2) tan tan 2 sin sin 2 cot cos sin sin 2 3) 4) sin cos cos 2 π   α ⋅ −α   π     π −α ⋅ −α   π     −α ⋅ α     π   −α ⋅ π −α   α ⋅ π −α   π α   −α ⋅ π −α     _______________________________________________________________________________________ Exercice 2 : Démontrez ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1) sin35 cos55 2) sin126 sin54 3) cos 77 cos 103 4) tan 35 tan 55 1 sin34 1 5) sin 36 sin 54 1 6) cos34 tan56 sin56 ° = ° ° = ° ° + α = − ° −α ° + α ⋅ ° −α = ° ° + ° = + ° = ° ° _______________________________________________________________________________________ Exercice 3 : Calculez les valeurs exactes des expressions A, B C et D 2 2 2 5 uploads/Litterature/ trigonometrie-sur-le-cercle-cours.pdf