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COLLECTION MATHÉMATIQUE AUTOUR DE TROIS CERCLES COAXIAUX À POINTS DE BASE Jean-

COLLECTION MATHÉMATIQUE AUTOUR DE TROIS CERCLES COAXIAUX À POINTS DE BASE Jean-Louis AYME 1 I. LA TECHNIQUE DE MONGE DITE ''DES TROIS CORDES'' A B C P C' A' B' Q 0 1 2 3 Résumé. Cette Collection présente différentes techniques permettant de montrer que trois cercles sont coaxiaux à points de base. Chaque technique relate plusieurs situations qui s'appuient sur un résultat suivi d'applications directes, puis d'exemples variés glanés par l'auteur au cours de ses lectures. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement. 1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan indien, France), le 29/08/2015 ; jeanlouisayme@yahoo.fr 2 2 Abstract. This Collection presents various techniques to show that three circles are coaxial with two basis points. Each technique describes several situations that rely on a result followed by direct applications, and varied examples gleaned by the author during his readings. The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved synthetically. Sommaire Récapitulation en images des quatre situations 4 I. La technique de Monge dite ''des trois cordes'' 5 1. Présentation A. Triangle P-circumcévien et un point Q 6 Le résultat de Quang Tuan Bui ou un point commun au départ Applications directes et développements 8 1. Le triangle P-circumcévien et le point O 2. Le triangle H-circumcévien et le point O 3. Le triangle I-circumcévien et le point O 4. Le triangle M-circumcévien et le point I Exemples 16 1. Darij Grinberg et le cercle d'Euler 2. Darij Grinberg et le cercle circonscrit 3. John Rogers Musselman et le triangle symétrique 4. Une variante de John Rogers Musselman 5. Le résultat d'Amir Saeidy 6. Le résultat d'Amir Saeidy généralisé par l'auteur 7. Le résultat d'Amir Saeidy généralisé par Telv Cohl 8. Le résultat de Floor van Lamoen 9. Le résultat de Lambert suivi d'une courte biographie Advanced 36 1. About coaxal circles B. Triangle P-cévien et pivot Q 40 Le résultat du Monthly ou le pivot comme point commun au départ Applications directes 41 1. L'auteur 2. Andrés Eduardo Caicedo, préparation des O.I.M. de 1992 3. Heinz Schröder et le point de Gergonne-Schröder 4. Heinz Schröder et le triangle tangentiel 5. Le point de Bevan-Schröder Exemple 52 1. L'auteur C. Triangle H-cévien et un point Q 54 Le résultat de Ioannis F. Panakis ou un point commun au départ Applications directes et développements 57 1. Le triangle orthique et le point O 2. Mathesis 1888 Exemples 63 1. Une variante 2. La généralisation de Tran Quang Hung D. Triangles H-cévien et Q-circumcévien 69 Le résultat du Hungary Kürschák 2014 ou aucun point commun au départ Application directe 71 1. La conjecture d'Antreas Hatzipolakis 3 3 Sommaire (fin) E. Triangle P-cerclecévien et le point P* 73 Le résultat de Ngo Quang Duong ou un point commun au départ Exemple 74 1. L'auteur F. Triangles H-cévien et O-anticircumcévien 75 ou aucun point commun au départ 1. Le triangle H-cévien et un rayon 2. Généralisation G. Situation non centrale et le point D 79 Le résultat de Joseph Lam et le point D comme point commun au départ H. Appendice 84 1. Un rapport 2. Une ''concourance'' 4 4 RÉCAPITULATION EN IMAGES DES SIX SITUATIONS A. B. C. D. E F A B C P A' Q 0 1 A B C A' B' Q 1 P A B H Q C A' 1 A B C 0 H A' Q A" 1 A B C A' O A" A B C P A' 1 P* 5 5 I. LA TECHNIQUE DE MONGE DITE DES TROIS CORDES 1. Présentation VISION DOUBLE Figure : F E A B I D C 1 2 Traits : 1, 2 deux cercles sécants, A, B les points d'intersection de 1 et 2, C, D deux points de 2, E, F deux points de 1 et I le point d'intersection de (AB) et (CD). Donné : C, D, E et F sont cocycliques si, et seulement si, (EF) passe par I. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 2 2 Ayme J.L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 6 6 A. TRIANGLE P-CIRCUMCÉVIEN ET UN POINT Q LE RÉSULTAT DE QUANG TUAN BUI OU UN POINT COMMUN AU DÉPART VISION Figure : A B C P C' A' B' Q 0 1 2 3 Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, P un point, A'B'C' le triangle P-circumcévien de ABC, Q un point et 1, 2, 3 les cercles circonscrits resp. aux triangles AA'Q, BB'Q, CC'Q. Donné : 1, 2 et 3 sont coaxiaux. 3 VISUALISATION 3 Bui Q. T., Funny Conjugate, Message Hyacinthos # 13625 du 11/07/2006 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/hyacinthos/conversations/messages/13625 7 7 A B C P C' A' B' Q R 0 1 2  Notons R le second point d'intersection de 1 et 2.  D'après Monge "Le théorème des trois cordes" 4 appliqué à 0, 1 et 2, (PQ) passe par R. A B C P C' A' B' Q R, R' 0 1 3  Notons R' le second point d'intersection de 1 et 3.  D'après Monge "Le théorème des trois cordes" 5 appliqué à 0, 1 et 3, (PQ) passe par R' ; en conséquence, R et R' sont confondus.  Conclusion : 1, 2 et 3 sont coaxiaux. Commentaire : pour montrer que trois cercles concourants en un point sont coaxiaux, il suffit de trouver un point commun appartenant à chaque axe radical de ces cercles pris deux à deux. 4 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 5 idem 8 8 APPLICATIONS DIRECTES ET DÉVELOPPEMENTS 1. Le triangle P-circumcévien et le point O VISION Figure : A B C O P C' A' B' 0 2 1 3 Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, P un point, A'B'C' le triangle P-circumcévien de ABC et 1, 2, 3 les cercles circonscrits resp. des triangles AA'O, BB'O, CC'O. Donné : 1, 2 et 3 sont coaxiaux. VISUALISATION  Conclusion : d'après I. A. Résultat en particularisant Q par O, 1, 2 et 3 sont coaxiaux. 9 9 A B C O P C' A' B' 0 2 1 3 X  Notons X le second point de base de 1, 2 et 3. Scolies : (1) X est l'inverse de P relativement à 0 (2) Quelques résultats donnés par Darij Grinberg * l'inverse du point médian, noté G et répertorié sous X2 chez ETC, est le "far-out point" X23 * l'inverse du point de Lemoine, noté K et répertorié sous X6 chez ETC, est le point de Schoute X187 * l'inverse du point de Kosnita 6 noté Ks et répertorié sous X54 chez ETC, est le point de Gibert X1157. Note historique : la notion de points inverses a été introduite par Jean Victor Poncelet 7 en 1822, puis reprise par Adolphe Quetelet 8 en 1827, Jacob Steiner 9 et Ludwig Immanuel Magnus 10 en 1832. 6 Ayme J.-L., Le point de Kosnitza, G.G.G. vol. 1 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 7 Poncelet J. V., Traité des propriétés projectives (1822) 8 Quetelet A., Mémoires Bruxelles 4 (1827) 9 Steiner J., Article 355, Les constructions géométriques (1832) 10 Magnus L., Journal de Crelle 8 (1832) 51 ; http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/toc/?IDDOC=238618 10 10 2. Le triangle H-circumcévien et le point O VISION Figure : A B C O H 0 A' B' 2 1 C' 3 Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC, A'B'C' le triangle circum-orthique 11 de ABC et 1, 2, 3 les cercles circonscrits resp. aux triangles AA'O, BB'O, CC'O. Donné : 1, 2 et 3 sont coaxiaux. VISUALISATION  Conclusion : d'après I. A. Résultat en particularisant P par H et Q par O, 1, 2 et 3 sont coaxiaux. 11 H-circumcévien 11 11 Scolies : (1) nature géométrique de Q A B C O H 0 A' B' 1 C' Q 4 U V  Notons 4 le cercle de diamètre [OQ] et U, V les points d'intersection de 0 et 4.  Nous avons : (UV) (OQ).  D'après Monge "Le théorème des trois cordes" 12 appliqué à 0, 1 et 4, (UV) passe par H.  Les tangentes à 0 resp. en U, V passent par Q.  Conclusion : Q est l'inverse de H relativement à 0. (2) H est répertorié sous X4 et Q sous X186 chez ETC 13 (3) Q est sur la polaire de H relativement à 0. Note historique : ce résultat de Roland Stärk obtenu en 1993 par ordinateur montre que Q est le point d'intersection de la droite d'Euler de ABC avec la polaire de H relativement au cercle circonscrit. Ce résultat concernant la droite d'Euler a été auparavant obtenu d'une façon non claire par Karl Mütz 14 en 1992. 12 idem 13 Kimberling C., uploads/Litterature/ cercles-coaxiaux1.pdf