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Vincent Borrelli Jean-Luc Rullière En cheminant avec Kakeya Voyage au cœur des

Vincent Borrelli Jean-Luc Rullière En cheminant avec Kakeya Voyage au cœur des mathématiques • En cheminant avec Kakeya En cheminant avec Kakeya Voyage au cœur des mathématiques Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière ENS ÉDITIONS 2014 Cet ouvrage est publié avec le concours du labex Milyon et du CNRS Rhône-Auvergne – Institut Camille Jordan Éléments de catalogage avant publication En cheminant avec Kakeya : voyage au cœur des mathématiques / Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière. – Lyon, ENS Éditions, impr. 2014. – 1 vol. (160 p.) : 24 cm. Bibliogr. : p. 157-158. ISBN 978-2-84788-415-9 Tous droits de représentation, de traduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’éditeur, est illicite et constitue une contrefaçon. Les copies ou reproductions destinées à une utilisation collective sont interdites. © ENS ÉDITIONS 2014 École normale supérieure de Lyon 15 parvis René Descartes BP 7000 69342 Lyon cedex 07 ISBN 978-2-84788-415-9 Sommaire Remerciements 7 Avant-propos 9 Une question anodine ? 11 La question de Kakeya 13 La grande invention 18 La dérivation 23 Qu’est-ce qu’une dérivée ? 25 La découverte de Descartes 31 Avancée sur la question de Kakeya 35 Le théorème d’Archimède 38 Le calcul intégral 47 Le partage d’Archimède 50 Qu’est-ce qu’une intégrale ? 53 Avancée sur la question de Kakeya 56 Le paradoxe du peintre 58 La formule de Stokes 67 La méthode de l’arpenteur 69 La découverte de Stokes 71 Avancée sur la question de Kakeya 76 Bulles de savon 78 Les équations différentielles 85 La deltoïde 87 Enveloppe de droites 89 Avancée sur la question de Kakeya 92 Billards 97 6 Sommaire Le théorème de Besicovitch 107 Le problème de Kakeya pour les aiguilles parallèles 109 La construction de Besicovitch 111 L’énigme des domaines étoilés 117 La conjecture de Kakeya 121 Le monde des objets d’aire nulle 123 Une nouvelle jeunesse pour la question de Kakeya 129 La conjecture 133 Perspectives 137 De Kakeya aux nombres premiers 138 L’approche de Bourgain 147 Bibliographie 157 Remerciements Nous remercions chaleureusement toutes les personnes qui nous ont soutenus, réconfortés et aidés dans ces longues années de rédaction : Sarah et Sophie, Damien Gayet, Régis Goiffon, Stéphane Lamy, Jean- François Quint, Didier Rullière, Bruno Sévenec, Shalom Eliahou et Bruno Yvonnet qui a généreusement prêté ses mains et ses outils pour la réalisation des « pieds de chapitres ». Nous adressons également tous nos remerciements à Sébastien Maronne pour sa patiente relecture du livre et ses nombreux conseils. Avant-propos Ce livre est le récit d’une aventure mathématique qui a pour point de dé- part une question, apparemment anodine, posée au début du XXe siècle par le mathématicien Sôichi Kakeya et qui s’est révélée beaucoup plus profonde qu’elle n’y paraissait. Après un siècle d’avancées mathéma- tiques, le problème posé par Kakeya est toujours là et il mobilise encore l’attention de grands mathématiciens. Cet ouvrage présente les réponses successives apportées au cours du temps. Chacune de ces réponses donne l’occasion de découvrir une nouvelle notion mathématique, replacée dans un contexte historique et illustrée par une application remarquable. En ﬁn d’ouvrage, nous abordons les recherches les plus récentes sur cette question en montrant le lien surprenant qui unit le problème de Kakeya à la théorie des nombres. Nous avons souhaité offrir au lecteur la possibilité de comprendre de façon plus approfondie les notions exposées sans néanmoins rebuter le néophyte. Aussi présentons-nous dans le corps du texte les formules qui expriment les notions mathématiques convoquées et, dans des encarts séparés, leur utilisation plus technique. Cet ouvrage, qui se veut une introduction aux grandes idées du calcul différentiel, est accessible à un lycéen intéressé par les mathématiques mais aussi à un public adulte désireux de s’y replonger. Le lecteur pourra, à travers les connaissances présentées, faire le lien avec celles qu’il a pu acquérir au lycée. Plus géné- ralement, cet ouvrage s’adresse à tous les esprits curieux qui souhaitent voir les mathématiques sous un jour différent. Une question anodine ? Les mathématiques sont une composante active de la pensée humaine, elles prennent racine dans la nécessité où nous nous trouvons de connaître et de comprendre le monde dans lequel nous vivons. Elles permettent, par un travail de l’esprit, de repousser toujours plus loin les limites de l’univers connu et proposent, en demandant de s’abstraire de la réalité sensible, une voie pour atteindre la raison première des choses. L’activité mathématique dont les premières traces remontent à l’aube des civilisations s’est considérablement ampliﬁée depuis quelques siècles. Une multitude de questions sont posées quotidiennement dont certaines, très difﬁciles, nécessitent l’exploration de domaines encore inconnus. L’exemple historique du problème de la quadrature du cercle montre que cette exploration peut durer plusieurs siècles. Rappelons qu’il s’agit, partant d’un cercle, de trouver un moyen de tracer à la règle et au com- pas un carré qui occupe la même surface. Ce problème, dont il est fait mention dans le papyrus Rhind datant de 1650 avant J.-C., a suscité au cours des âges les efforts de très nombreux mathématiciens. Il ne fut ﬁnalement résolu qu’à la ﬁn du XIXe siècle, par la négative : un tel tracé est impossible. Et pour parvenir à ce résultat, les mathématiciens ont dû se livrer à une étude approfondie de la véritable nature du nombre π. Ainsi, la réponse à une question mathématique suppose souvent la compréhension en profondeur des problèmes qu’elle soulève. Une fois le problème résolu, la solution prend la forme d’une démonstration, c’est-à-dire d’un cheminement logique qui, partant de faits considérés 12 UNE QUESTION ANODINE ? comme vrais, se développe au moyen d’une suite de déductions pour aboutir à la conclusion espérée. Ainsi étayé par une démonstration, non seulement le résultat obtenu acquiert le statut de fait mathématique, mais il offre souvent une nouvelle perspective et une compréhension dépassant le strict cadre de la question de départ. En général, une question étant posée, il est difﬁcile de découvrir ce fameux cheminement qui mène à la solution, ceci explique pourquoi de nombreuses questions très anciennes demeurent encore en sus- pens. Confronté à de telles questions, le mathématicien est souvent conduit à s’intéresser à des cas particuliers ou des questions annexes plus accessibles. Ces questions particulières, qui peuvent paraître bien anecdotiques, offrent parfois, l’histoire l’a montré, des lumières déci- sives sur les questions les plus générales. Ce passage du particulier au général n’est pas propre aux mathématiques et se rencontre dans tous les savoirs. À cet égard, la légende selon laquelle une simple pomme tombant de son arbre aurait inspiré à Isaac Newton les grands principes de la gravitation universelle, est révélatrice de la fécondité attribuée à cette démarche. De façon plus avérée, c’est l’observation de colonies de pinsons très particulières à certaines îles des Galapagos qui a suggéré à Darwin sa théorie générale de l’évolution des espèces. Face à une question, qu’elle soit annexe ou fondamentale, le savant peut se trouver dans deux situations : il peut avoir une conviction intime de la réponse, sans être capable de la démontrer, ou au contraire, n’avoir aucune idée de celle-ci. Bien entendu, son travail est grandement faci- lité s’il se trouve dans le premier cas ; autrement dit, lorsqu’il dispose en ligne de mire d’une idée de la réponse qui soit sufﬁsamment fon- dée pour servir de guide à la démonstration. Cette idée, ce moyen terme entre la question et la réponse, s’appelle une conjecture, c’est une ré- ponse plausible, une réponse en suspens, en attente d’une démonstra- tion. Cette attente peut être longue – parfois plusieurs siècles – et de très nombreuses conjectures demeurent encore aujourd’hui sans réponse ; c’est l’une d’entre elles, la conjecture de Kakeya, qui nous accompagnera tout au long de cet ouvrage. LA QUESTION DE KAKEYA 13 La question de Kakeya L’histoire de cette conjecture débute par une question si simple d’ap- parence que la réponse semble aller de soi. Mais les apparences sont trompeuses. Loin d’être évidente, cette question s’avère en réalité riche et profonde, et pour peu qu’on se laisse guider, son exploration conduit au cœur des mathématiques les plus modernes. Cette question « si simple » a été posée pour la première fois au début du XXe siècle par le mathématicien japonais Sôichi Kakeya : Quelle est la plus petite surface à l’intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement ? De façon plus concrète, c’est comme si Kakeya, considérant une aiguille posée devant lui sur sa table de travail, se demandait comment dessiner la plus petite zone possible à l’intérieur de laquelle il pourrait faire glisser cette aiguille jusqu’à ce qu’elle se retrouve dans sa position initiale, la tête prenant la place de la pointe. La première réponse qui vient à l’esprit est le disque dont l’aiguille serait le diamètre et qu’une simple rotation sufﬁrait alors à renverser complètement. Aussi surprenant que cela puisse paraître, cette solution élégante et simple ne répond pas à la question de Kakeya : il existe d’autres façons de déplacer l’aiguille qui uploads/Litterature/349-borrelli-pdf-web-pdf.pdf