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Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFU

Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Econométrie de la ﬁnance introduction aux modèles dynamiques Arthur Charpentier ENSAI-CREST Master Gestion des Risques, IGR, 2006/2007 1 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Quelques éléments bibliographiques Berndt, E.R. (1996). The Practice of Econometrics: Classic and Contemporary. Addison Wesley Publishing Company. Campbell, J.Y., Lo, A.W. & MacKinlay, A.C. (1997). The econometrics of ﬁnancial markets. Princeton University Press. Gouriéroux, C., Scaillet, O. & Szafarz, A. (1997). Econométrie de la ﬁnance, analyses historiques. Economica. Et la plupart des livres classiques d’économétrie linéaire. Pour les approches dynamiques, on retiendra Droesbeke, J.J., Fichet, B. & Tassi, P. (1994). Modélisation arch: Théorie statistique et applications dans le domaine de la ﬁnance. Ellipses Marketing. Gouriéroux, C. (1992). Modèles ARCH et applications ﬁnancières. Economica. 2 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Gouriéroux, C. & Monfort, A. (1995). Séries temporelles et modèles dynamiques. Economica. Lardic, S. & Mignon, V. (2002). Econométrie des séries temporelles macroéconomiques et ﬁnancières. Economica. Tsay, R.S (2005). Analysis of ﬁnancial time series. Wiley Interscience. Zivot, E. & Wang, J. (2006). Modeling ﬁnancial time series with S-Plus. Springer Verlag. 3 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Plan du cours • Quelques déﬁnitions générales et déﬁnition(s) de la rentabilité, • Quelques rappels sur les séries temporelles, • Econométrie statique et portefeuilles eﬃcients, • Modèles dynamiques des actions, les modèles GARCH. 4 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Une “économétrie de la ﬁnance” ? Taussig (1921) notait que le niveau de ﬁxation des prix ne peut se résumer à une interaction entre l’oﬀre et la demande: les ﬂuctuations des prix sont erratiques, imprévisibles. “Is market price determinate ?”. Sa répone est non, et il faut introduire de l’incertitude, en tenant aussi compte de la psychologie des acteurs (rumeurs, phases d’euphorie...). Working (1934) et Slutsky (1937) ont ainsi noté une analogie entre les évolutions de séries économiques et les séries de nombres aléatoires (éventuellement cumulées pour les prix). Working (1934) propose trois types de modèles pour les prix, • Xt = Xt−1 + σεt où (εt) est i.i.d. N(0, 1), • Xt = Xt−1 + σtεt où (εt) est i.i.d. N(0, 1), • Xt = Xt−1 + σtηt où (ηt) est i.i.d., • Xt = Xt−1 + σtηt où (ηt) est une diﬀérence de martingale. 5 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER On peut alors s’intéroger, comme Cowles & Jones (1937), “is stock price action random in nature or, if not, to what extend is it possible statistically to deﬁne the nature of its structure ?”: peut-on expliquer et modéliser ce hasard ? Ce hasard semble être lié à l’information dont disposent les agents. Pour reprendre l’idée de Working (1958), l’information est à l’origine des ﬂuctuations. Au lieu de travailler sur les prix des actions, Osborne (1959) propose de travailler sur le logarithme des prix. “a rationale for the use of log P in preference to P as independent variable is also given by the general statistical percept that equal intervals of the argument chosen as independent variable should have equal physical”. La modélisation qu’il retient est directement issue des travaux de Gibbs sur les équilibres des particules. Il propose ainsi que log Pt suive un mouvement brownien. 6 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER En étudiant davantage de séries, Alexander (1964) note qu’il convient de rajouter une tendance, et donc log Pt = µt + Wt. Pour être encore plus précis, Houthakker (1961) note que “price changes are not purely random but follow certain longer run trends [...]. This does not aﬀect the problem of randomness in the short run”. Un autre point noté par Kendall (1953) est qu’en plus de ce hasard observé pour chaques actions, il existe une “dépendance” non négligeable entre les actions (en notant que les prix au sein d’un même secteur d’activité pouvaient parfois évoluer fortement ensemble). Il convenait donc d’avoir une modélisation multivariée adéquate. 7 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Modélisation des marchés ﬁnanciers Prix et rentabilités: déﬁnitions Soit Pt le prix d’un actif à la date t. Déﬁnition 1. La rentabilité (nette) entre les dates t −1 et t est Rt = Pt −Pt−1 Pt−1 . Remarque 2. Nous traduirons le terme return par rentabilité, qui est une traduction plus correcte de rendement. Le rentabilité entre les dates t −k + 1 et t est alors Rt(k) = (1 + Rt) · (1 + Rt−1) · ... · (1 + Rt−k+1) −1 Remarque 3. Le plus souvent, une “rentabilité de 20%” correspondra à un rentabilité annuel de 20%. 8 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Il est aussi possible d’annualiser les rentabilités sur plusieurs années aﬁn de les comparer, A(Rt(k)) = Ãk−1 Y i=0 (1 + Rt−i) !1/k −1 ∼1 k k−1 X i=0 Rt−j, si les rentabilités sont faibles (développement de Taylor à l’ordre 1). Pour un portefeuille, composé des quantités α = (α1, ..., αn) dans chacun des actifs, a pour rentabilité Rα,t = n X i=1 αiRi,t. 9 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Remarque 4. Nous utiliserons dans ce cours cette déﬁnition de la rentabilité. En réalité, il convient de prendre en compte les dividendes versés. En eﬀet, le rentabilité Rt doit vériﬁer (1 + Rt) · Pt−1 = Pt + Dt, soit Rt = Pt + Dt Pt−1 −1 = Pt + Pt−1 Pt−1 | {z } rentabilité "pure" + Dt Pt−1 | {z } taux de dividende Mais puisque la déﬁniton de la rentabilité est impactée par l’unité de temps, il convient de prendre en compte un taux continu 10 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Déﬁnition 5. La log-rentabilité (ou taux continu) à la date t est le logarithme de la rentabilité brut, 1 + Rt, rt = log(1 + Rt) = log µ Pt Pt−1 ¶ = log Pt −log Pt−1 = pt −pt−1, où pt = log Pt. Notons qu’au premier ordre (rentabilités proches de 0), ces deux déﬁnitions sont équivalentes rt = log(1 + Rt) = log µ 1 + Pt −Pt−1 Pt−1 ¶ ∼Pt −Pt−1 Pt−1 = Rt. Le rentabilité sur plusieurs périodes s’écrit alors simplement rt(k) = log(1 + Rt(k)) = log Rt + log(1 + Rt−1) + ... + log(1 + Rt−k+1) = rt + rt−1 + ...rt−k+1 11 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Malheureusement, le log-rentabilité d’un portefeuille est plus compliqué à exprimer (le logarithme d’une somme n’étant pas la somme des logarithmes), rα,t ̸= n X i=1 αiri,t. 12 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Portefeuille et indice • indice CAC40 - Cotation Assistée en Continu - calculé à partir d’un échantillon de 40 valeurs cotées en France, • indice SBF120 (voire 250), basé sur 120 ou 250 titres • indice FTSE 100, regroupant les 100 plus grosses capitalisations de la bourse de Londres • indice Nikkei225 , regroupant les 100 plus grosses capitalisations japonaise • indice Dax, indice de référence en Allemagne, • indice Dow Jones (créé par Charles Dow et Edouard Jones en 1884) regroupe les 30 plus grosses capitalisations américaines en dehors du secteur des nouvelles technologies, • indice Nasdaq représente les valeurs technologiques américaines. 13 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER Indice très hétérogène, on peut y trouver de très fortes capitalisations (Microsoft, Google) mais aussi de beaucoup plus modestes • indice SP500 calculé par Standard & Poor’s, porte sur 500 valeurs cotées au New York Stock Exchange. Un indice est plus complexe qu’un simple portefeuille: les pondérations évoluent sans cesse dans le temps (indice de Laspeyres). La valeur de l’indice à la date t vériﬁe Vt+1 = Vt · PNt i=1 αi,tPi,t+1 PNt i=1 αi,tPi,t , où αi,t est le nombre total d’actions émises par la socité i à la date t, de telle sorte que αi,t · Pi,t désigne la capitalisation boursière de la société i. En cas d’augmentation de capital d’une société j, le nombre total 14 Arthur CHARPENTIER - Econométrie de la finance VERSION PROVISOIRE, NE PAS DIFFUSER d’actions passe de αj,t à αj,t(1 + δ), on crée une discontinuité dans la capitalisation boursière. Aﬁn d’éviter cette discontinuité, et de garder une condition d’autoﬁnancement Nt X i=1 αi,t+εPi,t = Nt X i=1 αi,tPi,t, on eﬀectue un ajustement de toutes les capitalisations, en considérant, au lieu de αi,t PNt i=1 αi,tPi,t αj,t(1 + δ)Pi,t + P i̸=j αi,tPi,t × αi,t Aussi, le poids de j augemente au sein de l’indice, et le poids des autres diminue. Si cette condition d’autoﬁnancement est satisfaite on par le de portefeuille fermé (closed end fund). Sinon on parle de portefeuille ouvert (open end fund), comme le sont la plupart des uploads/Litterature/cours-econometrie-finance.pdf