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Méthode Maths Recherche Aller au contenu principal Accueil Cours particuliers Contact A propos Soutenir Méthode Maths Partenaires Rechercher : Les polynômes du second degré Sommaire Un polynôme, qu’est-ce-que c’est ? Représentation graphique Racines d’un polynôme Calcul des racines Factorisation de polynôme Tableau de signe Sommet de la parabole et tableau de variation La forme canonique Exercices Intérêt des polynômes Introduction Ce chapitre est fondamental car on trouve des polynômes du second degré partout et tout le temps !! On en trouve notamment en physique, et les études de fonction comportent souvent de telles fonctions. Retiens donc bien tout ce qui va suivre Un polynôme, qu’est-ce-que c’est ? Un polynôme, c’est une fonction f de la forme : où a0, a1, a2… sont des réels. On les appelle les coefficients. Par exemple : Par contre, dès qu’il y a des racines ou des fractions, ce n’est plus une fonction polynôme^^ A chaque fois il y a bien sûr une puissance de x la plus grande. Par exemple dans c’est le x7 le plus grand c’est le x6 le plus grand c’est le x4 le plus grand C’est ce qu’on appelle le DEGRE du polynôme. Dans les exemples, le 1er polynôme est donc de degré 7, le 2ème de degré 6, le 3ème de degré 4 Nous allons nous intéresser aux polynômes de degré 2, c’est-à-dire ceux de la forme : On a fait exprès de noter les coefficients a, b et c, ce sera plus simple pour la suite. On appelle ces fonctions des polynômes du second degré. Les polynômes du second degré | Méthode Maths https://www.methodemaths.fr/polynome_second_degre/ 1 sur 20 11/10/2020 à 14:09 Représentation graphique Haut de page Il est tout d’abord important de savoir à quoi cela ressemble une fois tracé. Un polynôme du second degré est une parabole, tournée vers le haut ou vers le bas : Mais comment sait-on si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ? C’est très facile, on regarde le signe de a !!! (on rappelle que a est le coefficient de x2) Exemple : Ici a = 3 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut. Ici a = -5 < 0, donc la parabole est tournée vers le bas. — ATTENTION !! Il faut bien regarde le coefficient de x2 !! Or ce n’est pas forcément le 1er dans la fonction. Exemple : Ici a = +3 !! Beaucoup disent a = -5 car c’est le premier coefficient que l’on voit mais -5 est le coefficient de x et non celui de x2… — Racines d’un polynôme Haut de page Les racines d’un polynôme, qu’es-ce-que c’est ? Non ce n’est pas ce qui pousse dans la terre^^ Cela n’a rien à voir non plus avec la fonction racine carrée. Les racines d’un polynôme, ce sont les valeurs pour lesquelles un polynôme s’annule, c’est-à-dire f(x) = 0. Graphiquement, cela correspond aux valeurs pour lesquelles la courbe coupe l’axe des abscisses : Par exemple : Remplaçons x par 1 : Donc 1 est une racine de f !! De même avec 2 : Les polynômes du second degré | Méthode Maths https://www.methodemaths.fr/polynome_second_degre/ 2 sur 20 11/10/2020 à 14:09 Donc 2 est aussi racine de f ! Mais il pourrait y en avoir d’autres… sauf qu’un polynôme du second degré a AU PLUS 2 racines !! En effet, il peut en avoir 0, 1 ou 2. Ceci se voit très bien graphiquement, nous allons faire un tableau récapitulatif : Un polynôme du second degré a donc 0, 1 ou 2 solutions. En fait il y a un théorème plus général : Ainsi, un polynôme de degré 8 a AU PLUS 8 racines, il peut en avoir 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, ou 0 !! Un polynôme de degré 12 a AU PLUS 12 racines, etc… Un polynôme de degré 2 a donc au plus 2 racines ! Ce que l’on voit bien graphiquement avec le tableau ci-dessus. Calcul des racines d’un polynôme du second degré Haut de page Maintenant il s’agit de savoir comment trouver ces racines ! Bien sûr on ne va pas s’amuser à calculer ce que vaut la fonction pour chaque x… il y a des formules toutes faites !! On rappelle que l’on a Il y a alors 2 étapes : 1) On calcule le discriminant, que l’on appelle aussi le delta (la lettre Δ en grec) avec la formule suivante : C’est une formule à apprendre PAR COEUR !!! La règle est alors la suivante : On peut résumer avec ce tableau : 2) La 2ème étape consiste à calculer les racines s’il y en a. Les formules sont les suivantes : Dans le cas où il y a une seule solution, nous l’appellerons x1 Les polynômes du second degré | Méthode Maths https://www.methodemaths.fr/polynome_second_degre/ 3 sur 20 11/10/2020 à 14:09 Dans le cas où il y a 2 solutions, nous les appellerons x1 et x2. Ces formules sont également à apprendre par coeur !! Pour x2, la seule chose qui change est le -√ Δ au lieu du +√ Δ : facile à retenir^^ — ATTENTION à l’ordre des coefficients !!! Le a est bien le coefficient du x2, le b le coefficient du x et le c le coefficient constant ! Si on a f(x) = -3x + 4 – 5x2, il est conseillé de remettre d’abord dans l’ordre avant de faire les calculs : on écrit f(x) = – 5x2 -3x + 4, comme ça on voit bien que a = -5, b = -3 et c = 4. — Evidemment c’est avec l’entraînement que ça rentrera dans ta tête, à la fin ça deviendra évident pour toi Mais avant de passer aux exercices en vidéo, une petite remarque : Pour le cas où Δ = 0, ce n’est pas une autre formule que pour le cas Δ > 0. En effet, si dans les formules de x1 et x2 tu remplaces Δ par 0, on trouve la même formule : -b/2a, qui est la formule du x1 pour Δ = 0. En fait, quand il y a une seule solution, c’est comme s’il y avait 2 solutions confondues, c’est pour cela qu’on dit que c’est une racine DOUBLE dans le cas où il y a une seule solution, car c’est comme si il y avait 2 solutions superposées. Si tu n’as pas compris cette petite remarque ce n’est pas grave^^ Entraîne-toi avec ces calculs de racines de polynôme, c’est la meilleure façon d’apprendre comment faire et de retenir les formules ! Surtout qu’il y a pas mal d’exemples, alors profites-en ! Factorisation de polynômes Haut de page Une fois que tu as calculé les racines d’un polynôme, il y a quelque chose de très simple que tu peux faire : factoriser le polynôme ! Le principe est le suivant : supposons que tu as f(x) = ax2 + bx + c, et que tu as calculé les 2 racines x1 et x2 Tu peux alors dire que : Ainsi, quand tu dois factoriser un polynôme, il suffit de calculer les racines puis d’appliquer la formule ci-dessus. Evidemment si le polynôme n’a pas de racine on ne peut pas factoriser le polynôme^^ — ATTENTION !! Ne pas oublier le a dans la formule !!! Beaucoup pensent que la formule est f(x) = (x – x1)(x – x2), mais il ne faut oublier le a devant… — Exemple : f(x) = 4x2 – 4x – 24. On calcule d’abord les racines : Δ = b2 – 4ac – = (-4)2 – 4 × 4 × (-24) = 400 400 > 0 donc il y a 2 racines : x1 = (-b + √Δ)/2a = 3 x2 = (-b – √Δ)/2a = -2 (tu peux t’amuser à développer le calcul pour vérifier ) On a alors plus qu’à appliquer la formule : Comme f(x) = 4x2 – 4x – 24, on a a = 4, d’où : f(x) = a(x – x1)(x – x2) = 4(x – 3)(x – (-2)) = 4(x – 3)(x + 2) Et voilà, comme tu le vois une fois que tu connais la formule et que tu sais calculer les racines, il n’y a aucun souci — ATTENTION !! Dans l’exemple il y a une racine négative (-2), donc au final on a x « + » 2. Ce n’est pas parce qu’il y a x – x1 ou x – x2 dans la formule qu’on aura forcément « – » au final, tout dépend du x1 et du x2. Nous reparlons de cela dans la vidéo d’exercices. — Si maintenant Δ < 0, que se passe-t-il ? Et bien on a vu qu'à ce moment-là il n'y a pas de racine donc il n'y a pas de forme factorisée !! Dernière chose avant les exercices : si Δ = 0, on a dit qu’il n’y avait qu’une seule racine : x1. Mais alors comment on applique la formule ???? Et bien comme on a dit uploads/Litterature/les-polynomes-du-second-degre-methode-maths.pdf