Introduction aux systèmes dynamiques et à la modélisation Alexei PANTCHICHKINE

Introduction aux systèmes dynamiques et à la modélisation Alexei PANTCHICHKINE Institut Fourier, Université Grenoble-1 B.P.74, 38402 St.Martin d'Hères, FRANCE e-mail : panchish@mozart.ujf-grenoble.fr, FAX : 33 (0) 4 76 51 44 78 Un cours de Licence MAT127 (Mathématiques pour les biologistes de 2e semestre 2007/2008) Résumé Le présent cours est inspiré par le cours "Mathématiques en DEUG SV 2ème année" de Prof. Yves Colin de Verdière, voir [YCV]. Nous utilisons comme prérequis le cours MAT110c (Apprentissage du raisonnement et analyse élémentaire de Prof. Hervé Pajot, voir [Pajot]) : fondements (raisonnements, ensembles, nombres, dénombrements) ; analyse : étude des fonctions (fonctions continues, dérivables, théorème des accroissements nis, fonctions usuelles, fonctions réciproques) ; calcul intégral (Intégrale d'une fonction, primitives). En particulier, on développe plus en détail la géométrie en dimension 2 et 3, l'algèbre linéaire en dimension 2, les fonctions de plusieurs variables, les équations diérentielles à coe cients constants, les systèmes 2x2, déjà vus au premier semestre. On discute les applications de systèmes dynamiques. On donne des exemples numériques avec des logiciels (Maple) 2 Résumé Le présent cours est inspiré par le cours "Mathématiques en DEUG SV 2ème année" de Prof. Yves Colin de Verdière, voir [YCV]. Nous utilisons comme prérequis le cours MAT110c (Apprentissage du raisonnement et analyse élémentaire de Prof. Hervé Pajot, voir [Pajot]) : fondements (raisonnements, ensembles, nombres, dénombrements) ; analyse : étude des fonctions (fonctions continues, dérivables, théorème des accroissements nis, fonctions usuelles, fonctions réciproques) ; calcul intégral (Intégrale d'une fonction, primitives). En particulier, on développe plus en détail la géométrie en dimension 2 et 3, l'algèbre linéaire en dimension 2, les fonctions de plusieurs variables, les équations diérentielles à coe cients constants, les systèmes 2x2, déjà vus au premier semestre. On discute les applications de systèmes dynamiques. On donne des exemples numériques avec des logiciels (Maple) 2 Résumé Le présent cours est inspiré par le cours "Mathématiques en DEUG SV 2ème année" de Prof. Yves Colin de Verdière, voir [YCV]. Nous utilisons comme prérequis le cours MAT110c (Apprentissage du raisonnement et analyse élémentaire de Prof. Hervé Pajot, voir [Pajot]) : fondements (raisonnements, ensembles, nombres, dénombrements) ; analyse : étude des fonctions (fonctions continues, dérivables, théorème des accroissements nis, fonctions usuelles, fonctions réciproques) ; calcul intégral (Intégrale d'une fonction, primitives). En particulier, on développe plus en détail la géométrie en dimension 2 et 3, l'algèbre linéaire en dimension 2, les fonctions de plusieurs variables, les équations diérentielles à coe cients constants, les systèmes 2x2, déjà vus au premier semestre. On discute les applications de systèmes dynamiques. On donne des exemples numériques avec des logiciels (Maple) 2 Résumé Le présent cours est inspiré par le cours "Mathématiques en DEUG SV 2ème année" de Prof. Yves Colin de Verdière, voir [YCV]. Nous utilisons comme prérequis le cours MAT110c (Apprentissage du raisonnement et analyse élémentaire de Prof. Hervé Pajot, voir [Pajot]) : fondements (raisonnements, ensembles, nombres, dénombrements) ; analyse : étude des fonctions (fonctions continues, dérivables, théorème des accroissements nis, fonctions usuelles, fonctions réciproques) ; calcul intégral (Intégrale d'une fonction, primitives). En particulier, on développe plus en détail la géométrie en dimension 2 et 3, l'algèbre linéaire en dimension 2, les fonctions de plusieurs variables, les équations diérentielles à coe cients constants, les systèmes 2x2, déjà vus au premier semestre. On discute les applications de systèmes dynamiques. On donne des exemples numériques avec des logiciels (Maple) 2 Programme Champ de vecteurs dans le plan et introduction aux systèmes dynamiques avec des exemples liés aux sciences de la vie (dynamique des populations, cinétique chimique,...). Modélisation à l'aide d'équations diérentielles. Étude d'exemples empruntés à la biologie ou à la chimie. Activité Heures % Cours Magistral (CM) 24 20 Travaux Dirigé (TD) 36 30 Travail personnel estimé 60 50 TOTAL 120 100 3 Planning du cours Première partie. Modélisation ▶1. Modèles déterministes. Schéma d'une modélisation (voir [Bert], p.78) ▶2. Exemples de loi exponentielle. Solution analytique. Temps de doublement et de demi-vie (voir [Bert], p.80) ▶3. Adaptation d'un modèle. Exemple : Malthus modi é, loi logistique. Implications pour la phase de prévision. ▶4. Identi cation d'un modèle. Choix des paramètres. La méthode des moindres carrés : ajustement linéaire. Exemples numériques ▶5. Mise en équation des variables. Notion d'équation diérentielle. Champs de directions, isoclines, courbes intégrales, espace de phase ▶6. Solution d'une équation diérentielle. Problème de Cauchy. ▶7. Premières méthodes de solution. Équations diérentielles à variables séparées ([Bert], p.102) 4 Deuxième partie. Systèmes dynamiques et équations diérentielles ▶8. Systèmes dynamiques : un langage pour la modélisation. Exemples provenants d'équations diérentielles et de suites de récurrence ▶9.Équations diérentielles linéaires. Méthode de variation de la constante ([Bert], p.104) ▶10. Solution numérique. Méthode d'Euler ▶11. Exemple : systèmes écologiques (modèle de Lotka-Volterra) Troisième partie. Méthodes d'algébre linéaire ▶12. Vecteurs et matrices. Opérations ▶13. Bases et déterminants. ▶14. Vecteurs propres, polynômes caractéristiques. Utilisation des nombres complexes. ▶15. Application aux équations dierentielles et aux suites de récurrence. 5 Quatrième partie. Méthodes géométriques. Exemples d'une étude qualitative ▶16. Champs de vecteurs, points singuliers ▶17. Classi cation des points singuliers ▶18. Applications à l'étude qualitative de comportements autours des points singuliers ▶19. Notion de comportement chaotique de population 6 Partie I. Exemples de modélisation Introduction Qu'est ce que la modélisation ? Qu'est ce qu'une équation diérentielle ? Schéma d'une modélisation Exemples de modélisation en biologie Croissance d'une population selon Malthus Désintégration radioactive Calcul des primitives et des intégrales Adaptation d'un modèle. Équation logistique. Identi cation d'un modèle. Méthode des moindres carrées Fonctions de deux variables 'Equations diérentielles Équations diérentielles autonomes sur la droite La notion générale d'équation diérentielle Les méthodes de résolution. Équations diérentielles linéaires. Méthode de variation de la constante Types de méthodes de résolution Méthodes numériques 7 Introduction Qu'est ce que la modélisation ? Qu'est ce qu'une équation diérentielle ? Schéma d'une modélisation Exemples de modélisation en biologie Croissance d'une population selon Malthus Désintégration radioactive Calcul des primitives et des intégrales Adaptation d'un modèle. Équation logistique. Identi cation d'un modèle. Méthode des moindres carrées Fonctions de deux variables 'Equations diérentielles Équations diérentielles autonomes sur la droite La notion générale d'équation diérentielle Les méthodes de résolution. Équations diérentielles linéaires. Méthode de variation de la constante Types de méthodes de résolution Méthodes numériques 7 Cours N◦1, (disponible sur : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/panchish/6mat127) I. Modélisation. Comment les sciences peuvent-elles utiliser des mathématiques ? Les physiciens ne se posent guère la question car leur science est très mathématisée : les lois fondamentales de la physique ont des expressions mathématiques. Pour ce qui est des sciences du vivant, la situation est moins claire. Certaines branches (l'hérédité, la dynamique des populations, le code génétique, la cinétique biochimique) se prêtent bien à un traitement mathématique. C'est moins clair pour d'autres ! 8 Cours N◦1, (disponible sur : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/panchish/6mat127) I. Modélisation. Comment les sciences peuvent-elles utiliser des mathématiques ? Les physiciens ne se posent guère la question car leur science est très mathématisée : les lois fondamentales de la physique ont des expressions mathématiques. Pour ce qui est des sciences du vivant, la situation est moins claire. Certaines branches (l'hérédité, la dynamique des populations, le code génétique, la cinétique biochimique) se prêtent bien à un traitement mathématique. C'est moins clair pour d'autres ! 8 Systèmes déterministes De nombreux systèmes que l'on étudie dans les sciences comme la physique, la chimie, la biologie, l'économie, etc..., sont (en première approximation) des systèmes déterministes ; cela signi e que l'évolution du système au cours du temps est complètement déterminée par son état à un instant donné. Citons par exemple l'évolution des concentrations des réactifs dans une réaction chimique, l'évolution de populations (de bactéries, de lapins, etc...) dans un système fermé, la radioactivité, etc... La description de ces systèmes se fait au moyen de quantités numériques, souvent appelées variables ou observables, dont il s'agit d'étudier l'évolution au cours du temps. 9 Systèmes déterministes De nombreux systèmes que l'on étudie dans les sciences comme la physique, la chimie, la biologie, l'économie, etc..., sont (en première approximation) des systèmes déterministes ; cela signi e que l'évolution du système au cours du temps est complètement déterminée par son état à un instant donné. Citons par exemple l'évolution des concentrations des réactifs dans une réaction chimique, l'évolution de populations (de bactéries, de lapins, etc...) dans un système fermé, la radioactivité, etc... La description de ces systèmes se fait au moyen de quantités numériques, souvent appelées variables ou observables, dont il s'agit d'étudier l'évolution au cours du temps. 9 Modélisation de point de vue mathématique, une modélisation est la donnée de : ▶Le temps T (on considère soit le temps discret T = {lh | l ∈Z, h > 0 une constante xée } (mesuré en heures, minutes, journées, années, . . .), avec la notation tl = lh, donc tl+m = tl + tm) ; soit le temps continue T = R) ; ▶L'espace M (dit l'espace des phases) dont les points sont des vecteurs e = (x, y, · · · ) ∈M, où x, y · · · sont des quantités numériques, souvent appelées variables ou observables, qui caractérisent un état de système dynamique en uploads/Management/ 6m127-pdf.pdf

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• Publié le Dec 17, 2022
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