National School of Applied Sciences - Fès Department of Electrical and Computer

National School of Applied Sciences - Fès Department of Electrical and Computer Engineering M02: Numerical Analysis Author Prof. Safae ELHAJ-BEN-ALI Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhajbenali@usmba.ac.ma table of contents Chap. I : What is Numerical Analysis ? Chap. II : Numerical Methods for solving linear systems Ax = b Chap. III : Root Finding of an equation with only one variable Chap. IV : Polynomial Interpolation Chap. V : Numerical Integration Chap. VI : Numerical Solution for Ordinary Dierential Equations Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 2 Généralités sur l'Analyse Numérique Table de matière 1 Généralités sur l'Analyse Numérique Qu'est ce que l'analyse numérique ? Analyse numérique et ordinateur Di cultés liées à l'ordinateur Di cultés liées à l'ordinateur Les erreurs en analyse numérique Norme et conditionnement Conditionnement de matrices 2 Méthodes de résolution des systèmes Ax = b Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 3 Généralités sur l'Analyse Numérique Qu'est ce que l'analyse numérique ? Qu'est ce que l'analyse numérique ? Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 4 Généralités sur l'Analyse Numérique Qu'est ce que l'analyse numérique ? L'analyse numérique est une branche des mathématiques appliquées née après la fondation en 1947 de "The Institute of Numerical Analysis" à l'Université de California de Los Angeles, dont l'objectif est de donner une réponse numérique à des problèmes qui n'ont pas de solution analytique (solution calculée à la main) où de concevoir et d'étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de la modélisation de problèmes "réels", et dont on cherche à calculer la solution à l'aide d'un ordinateur. Discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 5 Généralités sur l'Analyse Numérique Qu'est ce que l'analyse numérique ? L'analyse numérique est une branche des mathématiques appliquées née après la fondation en 1947 de "The Institute of Numerical Analysis" à l'Université de California de Los Angeles, dont l'objectif est de donner une réponse numérique à des problèmes qui n'ont pas de solution analytique (solution calculée à la main) où de concevoir et d'étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de la modélisation de problèmes "réels", et dont on cherche à calculer la solution à l'aide d'un ordinateur. Discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 5 Généralités sur l'Analyse Numérique Qu'est ce que l'analyse numérique ? Exemple Calculer l'intégrale I = R 1 0 ex2dx. Il est impossible de donner une valeur exacte à I, dans ce cas, on peut appliquer des méthodes numériques pour évaluer la valeur de l'intégrale donnée. On trouve que I = R 1 0 ex2dx ≃1.4627. Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 6 Généralités sur l'Analyse Numérique Qu'est ce que l'analyse numérique ? L'analyse numérique = ⇒Résultat approché Conséquence : L'analyse numérique permet d'évaluer et de développer les processus (Méthodes) de résolution de problèmes mathématiques par la voie du calcul numérique à partir de données numériques accessibles (par l'experience). L'analyse numérique = ⇒Traitement de l'information Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 7 Généralités sur l'Analyse Numérique Qu'est ce que l'analyse numérique ? L'analyse numérique = ⇒Résultat approché Conséquence : L'analyse numérique permet d'évaluer et de développer les processus (Méthodes) de résolution de problèmes mathématiques par la voie du calcul numérique à partir de données numériques accessibles (par l'experience). L'analyse numérique = ⇒Traitement de l'information Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 7 Généralités sur l'Analyse Numérique Qu'est ce que l'analyse numérique ? L'analyse numérique = ⇒Résultat approché Conséquence : L'analyse numérique permet d'évaluer et de développer les processus (Méthodes) de résolution de problèmes mathématiques par la voie du calcul numérique à partir de données numériques accessibles (par l'experience). L'analyse numérique = ⇒Traitement de l'information Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 7 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur Analyse numérique et ordinateur Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 8 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur Depuis la deuxième guerre mondiale, les applications des mathématiques s'étendent à tous les secteurs d'activité et ceci grâce aux ordinateurs et leur rapidité de calcul, l'ordinateur est un outil incontournable pour simuler et modéliser les systèmes, il existe souvent plusieurs façon d'approcher un problème pour le résoudre = ⇒L'existence d'algorithme. De nition On appelle Algorithme, un processus ou une méthode numérique pour la résolution d'un problème toujours à partir de données accessible, en général, le problème d'analyse numérique se résume dans l'organigramme suivant : Données d'entrée Algorithme Données de sortie Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 9 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur Depuis la deuxième guerre mondiale, les applications des mathématiques s'étendent à tous les secteurs d'activité et ceci grâce aux ordinateurs et leur rapidité de calcul, l'ordinateur est un outil incontournable pour simuler et modéliser les systèmes, il existe souvent plusieurs façon d'approcher un problème pour le résoudre = ⇒L'existence d'algorithme. De nition On appelle Algorithme, un processus ou une méthode numérique pour la résolution d'un problème toujours à partir de données accessible, en général, le problème d'analyse numérique se résume dans l'organigramme suivant : Données d'entrée Algorithme Données de sortie Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 9 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur De nition Un organigramme est une représentation schématique de toute les possibilités pour résoudre un problème considéré c-à-d une succession de calcul et de décision traduisant le processus de résolution. Exemple Considérant le système linéaire :    a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 ⇐ ⇒   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     x1 x2 x3  =   b1 b2 b3   ⇐ ⇒ Ax = b Pour résoudre Ax = b on procède par l'organigramme suivant Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 10 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur De nition Un organigramme est une représentation schématique de toute les possibilités pour résoudre un problème considéré c-à-d une succession de calcul et de décision traduisant le processus de résolution. Exemple Considérant le système linéaire :    a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 ⇐ ⇒   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     x1 x2 x3  =   b1 b2 b3   ⇐ ⇒ Ax = b Pour résoudre Ax = b on procède par l'organigramme suivant Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 10 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 11 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur Remarque Un organigramme considère toute les possibilités de calcul puis donne une représentation du résultat (possibilité de visualiser les résultats sous forme de tableau, graphe, gure). Un algorithme peut être utile s'il satisfait un certain nombre de conditions : - Rapidité : Réduire au maximum le nombre des opérations menant au résultat. - Précision : Négliger toutes les erreurs commise au calcul c-à-d savoir contenir les eets des erreurs (erreurs de modélisation, de données, de représentation sur ordinateur ou de troncature). - Souple : L'algorithme doit être facilement transposable à des problèmes diérents. D'où, l'elaboration d'un algorithme nécessite beaucoup d'eort et présente de nombreuses di cultés. Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 12 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur Remarque Un organigramme considère toute les possibilités de calcul puis donne une représentation du résultat (possibilité de visualiser les résultats sous forme de tableau, graphe, gure). Un algorithme peut être utile s'il satisfait un certain nombre de conditions : - Rapidité : Réduire au maximum le nombre des opérations menant au résultat. - Précision : Négliger toutes les erreurs commise au calcul c-à-d savoir contenir les eets des erreurs (erreurs de modélisation, de données, de représentation sur ordinateur ou de troncature). - Souple : L'algorithme doit être facilement transposable à des problèmes diérents. D'où, l'elaboration d'un algorithme nécessite beaucoup d'eort et présente de nombreuses di cultés. Safae ELHAJ-BEN-ALI ( Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès safae.elhaj Cours d'analyse numérique 12 Généralités sur l'Analyse Numérique Analyse numérique et ordinateur Remarque Un organigramme considère toute les possibilités de calcul puis donne une représentation du résultat (possibilité de visualiser les résultats sous forme de tableau, uploads/Management/ an-ch-i-amp-ii.pdf

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• Détails
• Publié le Apv 12, 2022
• Catégorie Management
• Langue French
• Taille du fichier 2.9871MB