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Méthode d’analyse des structures par éléments finis O. HNIAD Introduction à l’a

Méthode d’analyse des structures par éléments finis O. HNIAD Introduction à l’analyse par éléments finis Définition Modes de fixation usuels Modélisation d’un élément-barre Exemples réels de modélisation Analyse EF : comment ça marche ? Background historique de la FEM La FEA à plusieurs types de problèmes Étapes d’une analyse par éléments finis Types d’éléments et maillages L’analyse EF dans l’analyse des structures Récapitulatif DÉFINITION • En analyse numérique, la méthode des éléments finis (MEF , ou FEM pour « finiteelementmethod» en anglais) est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles. • Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécaniques, thermodynamiques, acoustiques, etc.). • Concrètement, cela permet par exemple de calculer numériquement le comportement d'objets même très complexes, à condition qu'ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles linéaire : mouvement d'une corde secouée par l'un de ses bouts, comportement d'un fluide arrivant à grande vitesse sur un obstacle, déformation d'une structure métallique, etc. MODES DE FIXATION USUELS • Considérons le treillis suivant, servant de couverture pour hangar métallique, appuyé similairement à une poutre (double à gauche et simple à droite, par exemple). • Comment passer de la réalité au modèle ? Identifier les éléments, leurs points de liaison et les fixations existantes ! ? ? ? MODÉLISATION D’ÉLÉMENTS BARRE SUR TREILLIS MODÉLISATION D’ÉLÉMENTS BARRE SUR TREILLIS Système réel Barre Appui/fixation Nœud Modèle mathématique (Discrétisation EF) MODÉLISATION D’ÉLÉMENTS BARRE SUR TREILLIS Modèle EF Élimination des fixations et des charges Désassemblage Localisation des éléments Élément générique EXEMPLES RÉELS DE MODÉLISATION EF ANALYSE EF : COMMENT ÇA MARCHE • Dans la mécanique des solides, la question qui se pose est : si on applique un système de forces à un solide (charges), et en tenant compte de son état de fixation (appuis), quelles sont les valeurs des déplacements, des contraintes et des déformations en out point du solide ? • INPUTS : Conditions aux limites (charges, déplacements initiaux) ; • OUTPUTS : Contraintes, déformations, déplacements des points matériels ANALYSE EF : COMMENT ÇA MARCHE Équations de compatibilité : Équations constitutives (élastique linéaire isotrope) : Équations d’équilibre : • Les équations ci-dessus sont à résoudre pour avoir les outputs précédemment cités. • Pour chaque point : 15 équations ! (certaines à dérivées partielles !!) • Impossible de trouver une solution mathématique exacte dans ces conditions, donc nous utiliserons une méthode numériquepermettant l’obtention d’une solution approximative. ANALYSE EF : COMMENT ÇA MARCHE • L ’ensemble des problèmes d’ingénierie : ▫Sont définis dans des domaines géométriquement complexes ; ▫Ont des conditions aux limites différentes à chaque portion des frontières. • Ainsi, il est difficile (voire impossible) de : ▫T rouver une solution analytique exacte ; ▫Générer des équations approximatives pour d’autres méthodes de résolution de problèmes à valeurs aux limites. • En général, la méthode des éléments finis est un puissant outil de calcul technique destiné à la résolution d’équations différentielles ou intégrales qui surviennent dans les problèmes complexes d’ingénierie et des sciences appliquées. • Donc, on peut exploiter la FEM au lieu de compliquer la tâche ! Background historique de la FEM • Hrenikoff, 1941 – “frame work method” • Courant, 1943 – “piecewisepolynomial interpolation” • T urner , 1956 – derivedstiffness matrix for truss, beam, etc • Clough, 1960 – coinedthe term “finiteelement” LA FEA À PLUSIEURS TYPES DE PROBLÈMES • Analyse des structures ▫Sélectionner le type d’élément ▫Adopter une fonction de déplacement ▫Relations contraintes-déformations ▫Obtenir la rigidité de l’élément ▫Assembler les équations de l’élément ▫Obtenir les déplacements nodaux ▫Obtenir les efforts exercés sur l’élément • Analyse thermique ▫Sélectionner le type d’élément ▫Adopter une fonction de température ▫Relations de température et flux ▫Obtenir la conductivité de l’élément ▫Assembler les équations de l’élément ▫Obtenir les déplacements nodaux ▫Obtenir les gradients et flux de l’élément LA FEA À PLUSIEURS TYPES DE PROBLÈMES • Plusieurs phénomènes observés dans le cadre de l’ingénierie peuvent être exprimés, dans l’optique de la méthode des éléments finis, par des équations gouvernantes du phénomèneet des conditions aux limites. • chaque problème a ses propriétés, ses actions et ses comportements ne réponse auxdites actions : ▫Mécanique des solides : rigidité, forces et déplacements ; ▫Analyse thermique : conductivité, source de chaleur et température ; ▫Mécanique des fluides : viscosité, forces de volume et vitesse d’écoulement ; ▫Électrostatique : permittivité, charge et potentiel électrique. ÉTAPES D’UNE ANALYSE PAR ÉLÉMENTS FINIS • L ’analyse par éléments finis commence par une discrétisation du problème. • Ceci permet de passer d’un objet complexe (discontinuités, géométrie arbitraire et compliquée) à un objet dont l’analyse et la résolution d’équations formulées devient simple. • La séquence est comme suit : Réalité →Modèle physique simplifié (idéalisation) →modèle mathématique →modèle discrétisé (maillage) ÉTAPES D’UNE ANALYSE PAR ÉLÉMENTS FINIS • Diviser la structure complexe en plusieurs éléments finis interconnectés aux nœuds ; • Déterminer les matrices de rigidité de chaque élément sur repère local ; • T ransformer les matrices de rigidité élémentaires du repère local au repère global ; • Assemblage des matrices élémentaires rapportées au repère global afin d’obtenir la matrice de rigidité globale ; • Assembler le vecteur forces appliquées aux nœuds ; • Partitionner le problème en introduisant les liaisons fixes ; • Résoudre les sous-systèmes d’équations afin d’obtenir les efforts exercés aux nœuds d’appui ainsi que les déplacements des autres nœuds ; • Déterminer à partir des résultats les déplacements nodaux en termes de coordonnées locales ; • Calculer les contraintes et déformations subies par l’élément pour procéder par la suite à son dimensionnement (limitation des σ et des ε). ÉTAPES D’UNE ANALYSE PAR ÉLÉMENTS FINIS • La discrétisation est le travail consistant en la modélisation du corps étudié par sa subdivision : ceci donnera un système équivalent constitué de plusieurs unités plus petites (éléments finis) interconnectées en des points communs à deux éléments ou plus (nœuds ou points nodaux) et en des lignes frontières (voire même surfaces frontières dans le cas d’éléments de volume). • Cet exemple est le cas d’un portique chargé subdivisé en plusieurs éléments constituant un modèle éléments finis : ÉTAPES D’UNE ANALYSE PAR ÉLÉMENTS FINIS ÉTAPES D’UNE ANALYSE PAR ÉLÉMENTS FINIS Système réel Barre Appui/fixation Nœud Modèle mathématique (Discrétisation EF) ÉTAPES D’UNE ANALYSE PAR ÉLÉMENTS FINIS Modèle EF Élimination des fixations et des charges Désassemblage Localisation des éléments Élément générique TYPES D’ÉLÉMENTS ET MAILLAGES • Éléments 1D : • Éléments 3D : • Éléments 2D : TYPES D’ÉLÉMENTS ET MAILLAGES • Exemple classique : dalle avec ouverture TYPES D’ÉLÉMENTS ET MAILLAGES • Illustration de l’importance de la densité d’un maillage EF : L’ANALYSE EF DANS L’ANALYSE DES STRUCTURES • Il est très difficile de conjecturer des équations algébriques valables pour l’ensemble du domaine étudié. • Ainsi, le travail par élément est plus abordable. • En approximant encore plus, on considère que les déplacements des points de chaque élément du domaine étudié suivent une fonction polynomiale. • Le choix de cette approximation permet de linéariser les équations à résoudre après établissement des lois régissant le comportement du système dans sa globalité. L’ANALYSE EF DANS L’ANALYSE DES STRUCTURES • Afin d’illustrer la procédure : L’ANALYSE EF DANS L’ANALYSE DES STRUCTURES • Utilisation en structures : l’analyse des treillis, poutres et autre structures se base sur une simplification et idéalisation dramatiques : ▫La masse est considérée comme concentrée au centre de gravité ; ▫Les éléments sont généralement linéaires (poutre unidimensionnelle, par exemple). • La conception et les dimensions se baseront sur les résultats du modèle éléments finis avec un large coefficient de sécurité (1,5 à 3) donné par l’expérience. • Dans l’ingénierie, le choix de la géométrie est plus complexe encore et la précision requise est bien supérieure. RÉCAPITULATIF • La méthode des éléments finis est une méthode numérique pour résolution des problèmes d’ingénierie et de physique mathématique ; • Utile dans le cas de géométries complexes, charges appliquées et pour des matériaux dont la formulation d’équations analytiques exactes est impossible. • Plusieurs types d’éléments ainsi que différentes densités de maillages possibles ; • Importance du choix du modèle éléments finis dans la finesse du résultat obtenu ; • Efficacité du modèle dépend fortement de la puissance de l’outil de calcul utilisé dans ce sens : mémoire, temps et calculateur jouent un rôle dans la rapidité du calcul selon le maillage. RÉCAPITULATIF • Procédure générale : ▫Établir un modèle physique à partir de la réalité : description du problème, simplification d’un phénomène réel à un problème solvable par des approches mathématiques ; ▫Établir un modèle éléments finis : discrétiser/mailler le domaine étudié (solide dans le cas des structures), définir ses propriétés et fixer ses conditions aux limites ; ▫Calculs théoriques : conjecture de fonctions approximatives pour description du comportement étudié, formulation d’équations linéaires du système étudié et résolution des équations ; ▫Obtention des résultats : visualiser les résultats après obtention et explication du comportement. Développement des équations pour les treillis Qu’est-ce qu’un treillis ? Schéma d’analyse éléments finis Matrice de rigidité d’un élément barre de treillis 2D Transformation des coordonnées Assemblage des rigidités élémentaires Exemple uploads/Management/ cours-fem.pdf