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CHEZ LE MiME EDITEUR Ouvrages de fa meme collection (Maitrise de mathematiques

CHEZ LE MiME EDITEUR Ouvrages de fa meme collection (Maitrise de mathematiques pures): voir page 4 de couverture. Collection Mathematlques app/iquees pour fa Maitrise sous la direction de Ph. CiARLET et J. LIoNs: INTRODUCTION A L'ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE ET A L'OPTIMISATION, par Ph. CiARLET. 1988, 3" tirage, 292 pages. EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE ET D'OPTIMISATION, avec solu- tions, par Ph. CiARLET, B. MIARA et J. M. THOMAS. 1987, 2" edition, 192 pages. ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES, par M. CROUZEIX et A. L. MIGNOT. 1989, 2" edition, 192 pages. EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES, par M. CROUZEIX et A. L. MIGNOT. 1986, 192 pages. INTRODUCTION A L' ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX DERIVERS PARTIELLES, par P. A. RAVIART et J. M. THOMAS. 1988, 2" tirage 224 pages. EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES, par P. RABIER et J. M. THOMAS. 1985, 208 pages. ANALYSE FONC1IONNELLE. Theorie et applications, par H. BREZIS. 1987, 2" tirage, 248 pages. Autres ouvrages ANALYSE REELLE ET COMPLEXE, par W. RUDIN. 1987, 4· tirage, 408 pages. MATHEMATIQUES POUR LA LICENCE, Second cycle des Universites et ecoles d'ingenieurs. Variable complexe, calcul differentiel et tensoriel, espaces normes et calcul integral, analyse de Fourier, par J. P. FERRIER. 1984, 232 pages ALGEBRE ET GEOMETRIE. PROBLEMES DE MATHEMATIQUES, Ecrit du CAPES, avec rappels de cours. Annee 1979-1987, Concours interne 1987, par A.Ltvy-.BRUHL, P. LEVy-BRUHL, C. PIQUET, C. SERVIEN et J. VAUTHIER. ,.!988, 2· edition, 224 pages. ANALYSE. PROBLEMES bE MATHEMATIQUES, Ecrit du CAPES, avec rappe1s de cours. Aimee 1980-1987, par A. LEVy-BRUHL, P. LEVy-BRUHL, C. PIQUET, c. SE~YIEN et J. VAUTHIER. 1988,2" edition, 248 pages. Collection Maitrise de mathematiques pures sous Ia direction de J. DIEUDONNE et P. MALLIAVIN de l'Institut P.DOLBEAULT Pro/esseur a I'Universite Pierre et Marie Curie ANALYSE COMPLEXE Ouvrage publie avec Ie concours du Ministere de la Recherche et de la Technologie (DIST). MASSON Paris Milan Barcelone Mexico 1990 Toute reproduction ou representation integrale ou partielle, par quelque procede que ce soit, des pages pubJiees dans Ie present ouvrage, faite sans I'autorisation de I'editeur est illicite et constitue une contrefaIYon. Seules sont autorisees, d'une part, les reproductions strictement reservees it I'usage prive du copiste et non destinees it une utilisation collective, et d'autre part, les courtes citations justifiees par Ie caractere scientifique ou d'information de I'oeuvre dans laquelle elles sont incor- porees (Ioi du 11 mars 1957 art. 40 et 41 et Code Penal art. 425). Des photocopies payantes peuvent etre reaJisees avec I'accord de l'editeur. S'adresser au : Centre FranIYais du Copyright, 6 bis, rue Gabriel-Laumain, 75010 Paris. Tel. 48.24.98.30 MASSON MASSON S.p.A. MASSON S.A. MASSON EDITORES © Masson, Paris, 1990 ISBN: 2-225-81425-2 ISSN : 0339-879 X 120, bd Saint-Germain, 75280 Paris Cedex 06 Via Statuto 2, 20121 Milano Balmes 151, Barcelona 8 Dakota 383, Colonia Napoles, Mexico 18 DF INTRODUCTION AU COURS D'ANALYSE L'ANALYSE MATHEMATIQUE donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa demarche. Des Ie xvme siecle les series ont ete utilisees pour definir des fonctions nouvelles. Dans un langage moderne, l'Analyse demontre des theoremes d'exlSfence en formulant les problerres dans des espaces complets convenables. Lorsqu'un resultat d'existence est precise par un theo- reme d'unicite, alors, et seulement alors, la notion de solution approchee a un sens ; Ies algo- rithmes numeriques de caIcul des solutions approchees proviendront souvent de la demarche anterieure de l'Analyste. L'evolution des systemes mecaniques est gouvernee par Ie prinCipe du minimum d'action. Plus generalement I'Analyse permet de definir des fonctions remarquables : celles qui reali- sent Ie minimum de fonctionnelles nature lies. Les proprietes de ces fonctions extrrJmales pour- ront etre deduites alors des equations aux variations de la fonctionnelle associee. Les lois elementaires de conservation de la Physique ne permettent pas de decrire un phe- nomene complexe. Toutefois la formulation infinitesimale de ces lois peut conduire a des equations aux derivees partielles. L' Analyse, en etablissant I'existence globale des solutions de ces equations, ainsi que leurs proprietes, apportera un outil pour passer de I'infinitesimal au global. Le caIcul des probabilites sur un nombre fini n d'evenements, est souvent equivalent a des problemes de combinatoire. Lorsque n tend vers I'infini, des lois limites simples apparaissent. La Oll l'on ne trouvait que Ie contingent et l'enchevetrement d'enumerations fastidieuses, Ie passage a la limite fera apparaitre des fonctions regulieres justiciables des methodes de caIcul de I' Analyse. Ces points de vue seront mis en evidence dans ce cours, destine a des etudiants de licence ou de maitrise, et qui comportera quatre volumes de 100 a 200 pages chacun : - Topologie et Analyse fonctionneJle ; - Integration, Probabilites, Analyse de Fourier et Analyse Spectrale ; - Calcul differentiel ; - Analyse complexe. Chaque volume sera ecrit de teJle sorte qu'i! puisse etre lu de fa90n independante. P. MALLIA VIN INTRODUCTION AU COURS D'ALGEBRE L'Algebre n'est pas vraiment une discipline independante, mais un fondement et un outil pour I'ensemble des mathematiques, et son deve- loppement rapide dans les dernieres annees a ete en fait suscite et dirige par les be- soins d'autres disciplines ma- thematiques. L. KRONECKER (1861), Math. Werke, vol. Y, p. 387. L'OPINION DE KRONECKER (I'un des plus illustres algebristes de tous les temps) peut paraitre en opposition avec Ie phenomene bien connu de la preponderance de plus en plus grande de I' Algebre dans les mathematiques actuelles, ce qu'on a pu appeler 1'« algebrisation» de l'Analyse, de la Geometrie et de la Topologie. En realite, cette preponderance est due au fait que les algebristes ont su inflechir leurs recherches sous I'influence des parties des mathe- matiques ou elles pouvaient apporter un appui decisif. Un exemple historique typiqlle est l'evolution de l'Algebre lineaire et muItilineaire, qui, pour devenir un outil fondamental en Analyse fonctionnelle, a dCt commencer par se debarrasser dll fatras des calculs de determi- nants et de matrices qui I'encombraient inutilement au XIXe siede. De meme, on sait que l'AIgebre commutative est nee, d'une part avec les demonstrations, par Dedekind et Weber, des theoremes fondamentaux de la Theorie des nombres et de la Theorie des courbes alge- briques, et de l'autre avec les decouvertes de Hilbert sortant la Theorie des invariants des interminables calculs ou elle s'enlisait. Et son essor a partir de 1920 est concomitant avec I'essor simultane, a partir de la meme epoque, de la Geometrie algebriqlle et de la Geometrie analytique, dont elle forme la base. C'est donc dans I'esprit de Kronecker qu'est redige ce Cours d' Algebre ; il ne comprend pas une seule definition ni un seul resuItat d'Algebre pure qui n'ait une application dans une autre partie des mathematiques, et on a veille a ce que les etudiants s'en rendent compte dans toute la mesure du possible. Pour Ie premier volume, consacre a l'AIgebre lineaire et multi- lineaire, cela ne posait pas de probleme, car il s'agit la de ce que I'on peut appeler Ie « pain quotidien» de tout mathematicien, qu'il s'occupe d'Arithmetique, d'Analyse fonctionnelle, de Geometrie differentielle, de Topologie algebrique ou de Mecanique qllantique. Les deux autres volumes sont divises en trois chapitres, dont deux, consacres respective- ment a la Theorie des groupes et a la Theorie des nombres algebriques, sont deja essentielle- ment des chapitres d'applications de I'Algebre. Le troisieme, qui traite des parties elementai- res de l'Algebre commutative, a pour domaines principaux d'applications la Theorie des nombres et la Geometrie algebrique. Le niveau plus eleve de cette derniere n'a pas permis d'en indure une partie appreciable dans Ie texte ni dans les exercices ; mais on a essaye de signaler a quoi correspondent « geometriquement » de nombreuses notions purement alge- briques de cette theorie, !orsque cela n'exigeait pas l'introduction d'un trop grand nombre de notions nouvelles. J. DIEUDONNE TABLE DES MATIERES ATant-propos ...................................................................... . 1. Fonctions holomorphes ; theoremes de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Fonctions holomorphes ........................................................ 5 2. Formes differentielles de degre 1 et 2, chaines differentiables de dimension 0, 1 et 2 ; formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Theoreme de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ analyse-complexe-collection-maitrise-de-mathematiques-pures-by-p-dolbeault.pdf