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ANALYSE MATHÉMATIQUES FOUAD KISSI F. S. J. E. S Oujda 2019-2020 FOUAD KISSI ANA

ANALYSE MATHÉMATIQUES FOUAD KISSI F. S. J. E. S Oujda 2019-2020 FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES CONTENU Chapitre 1 : Les fonctions numériques d'une variable réelle. Chapitre 2 : Les fonctions numériques de deux variables réelles. Chapitre 3 : Les intégrales simples et généralisées. Chapitre 4 : Les suites réelles. Chapitre 5 : Les séries. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES PREMIER CHAPITRE LES FONCTIONS D'UNE VARIABLE REELLE FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES I) Notion de fonction numérique d'une variable réelle Dé nition : Une fonction numérique f d'une variable réelle est une relation qui à chaque valeur d'une variable réelle x associe au plus une valeur f (x). On note f : R 7− →R x 7− →f (x) f (x) est l'image de x par f x est la variable ( ou l'antécédent ) de f (x). FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Domaine de dé nition Dé nition : Soit f : R 7− →R une fonction. On appelle domaine de dé nition ( ou l'ensemble de dé nition ) de f la partie de R constituée des éléments ayant exactement une image, nous la noterons pae Df : Df = {x ∈R/f (x) existe } FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Représentation graphique Dé nition : Soit R = (O,⃗ i,⃗ j) un repère cartésien du plan et f une fonction. On appelle représentation graphique ( ou courbe représentative ) de f dans R l'ensemble Cf = {M(x; f (x))/x ∈Df } Où M(x; f (x)) désigne le point de coordonnées (x, y) dans R. Lorsque x décrit Df ⊂R, le point M(x, y) où y = f (x) décrit dans ce plan la courbe Cf de la fonction f dans le repère choisi. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Quelques fonctions usuelles Les fonctions a nes : f (x) = ax + b (a; b ∈R et a ̸= 0) Df = R Gf = {(x, y) ∈R2/y = f (x) = ax + b} (Cf ) c'est la droite d'équation y = ax + b. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Quelques fonctions usuelles Les fonctions quadratiques : f (x) = ax2 + bx + c ; a ̸= 0 Df = R Gf = parabole qui est ouvert vers le haut si a est positif et vers le bas si a est négatif. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Quelques fonctions usuelles Les fonctions quotients : f (x) = ax + b cx + d a, b, c et d ∈R Df = {x ∈R/cx + d ̸= 0} FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Quelques fonctions usuelles f (x) = 1 √x−1 x ∈Df ⇔x −1 > 0 ⇔x > 1 Df =]1; +∞[ f (x) = √ −x2 −1 Df = ∅car ∀x ∈R on a −x2 −1 ≤0. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES sens de variation Dé nition : Soit f une fonction réelle et I un intervalle de R, tel que I ⊂R : On dit que f est croissante sur I si : ∀(x; y) ∈I 2; x < y ⇒f (x) ≤f (y) On dit que f est décroissante sur I si : ∀(x; y) ∈I 2; x < y ⇒f (x) ≥f (y) On dit que f est strictement croissante sur I si : ∀(x; y) ∈I 2; x < y ⇒f (x) < f (y) FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES sens de variation On dit que f est strictement décroissante sur I si : ∀(x; y) ∈I 2; x < y ⇒f (x) > f (y) En n, on dit que f est stationnaire ( ou constante ) sur I si pour tout x1 et tout x2 de I, on a f (x1) = f (x2). FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Exemples En économie, on rencontre beaucoup de fonctions croissantes et décroissantes : 1 L'épargne est une fonction croissante du taux d'intérêt ( quand le taux augmente l'épargne augmente ). 2 l'investissement est une fonction décroissante du taux d'intérêt. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Opérations sur les fonctions Soit f ; g : I ⊆R 7− →R deux fonctions. 1 Egalité de deux fonctions : f = g ⇔f (x) = g(x), ∀x ∈I, 2 Somme de deux fonctions : (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈I, 3 Produit de deux fonctions : (fg)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈I, 4 Produit d'une fonction par un réel : (αf )(x) = αf (x), ∀x ∈I, α ∈R 5 Quotient de deux fonctions : si g ̸= 0, ( f g )(x) = f (x) g(x); ∀x ∈I 6 Composée de deux fonctions : si f : I 7− →R et g : f (I) 7− →R alors la composée de f et g : gof est donnée par (gof )(x) = g(f (x)); ∀x ∈I. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES II) Dérivabilité Soit I un intervalle de R et f : I 7− →R et x0 ∈I. 1) Dérivabilité en un point f est dérivable en x0 si lim x7→x0 f (x)−f (x0) x−x0 existe. Cette limite est la dérivée de f en x0 et notée : f ′(x0) = lim x7→x0 f (x) −f (x0) x −x0 FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Exemple On peut véri er que la dérivée au point x0 = 1 de la fonction qui à x associe f (x) = 2x2 −3 est égale à 4. En eet, on a : lim x7→1 f (x)−f (1) x−1 = lim x7→1 2x2−3+1 x−1 = lim x7→1 2(x + 1) = 4 donc f ′(1) = 4 FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Interprétation géométrique : équation de la tangente La droite (T) est la droite tangente à la courbe de f passant par le point M(x0, f (x0)) a pour équation : y = f ′(x0)(x −x0) + f (x0). Autrement dit, f ′(x0) représente la pente de la droite (T). FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Dérivabilité sur un intervalle f est dérivable sur l'intervalle I si f est dérivable en tout point de I. On note f ′ la fonction dérivée de f : f ′ : Df 7− →R x 7− →f ′(x) Remarque : si f est dérivable alors f est continue FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Dérivées et opérations Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I et α ∈R. On a (αf )′ = αf ′ ; (f + g)′ = f ′ + g′ ; (fg)′ = f ′g + fg′ ; ( f g )′ = f ′g−fg′ g2 ; (fog)′ = (f ′og) × g′ FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Tableau des dérivées usuelles f (x) f ′(x) C 0 ax a 1 x −1 x2 √x 1 2√x xn nxn−1(n ∈N∗) xα αxα−1(α ∈R∗) ex ex ln(x) 1 x eU(x) U′(x)eU(x) ln(| U(x) |) U′(x) U(x) FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Dérivées successives Soit f une fonction dérivables sur un intervalle I ⊂R. Si f ′ est dérivable sur I, on note f ” ou f (2) la dérivée de f ′. f ” s'appelle la dérivée seconde de f . Par recurrence sur n ∈N, n ≥2, on dé nit la dérivée neme de f , notée f (n), par f (n) = (f (n−1))′ lorsque f (n−1) est dérivable sur I. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Exemple f (x) = x4 ; f ′(x) = 4x3 ; f ”(x) = 2x2 ; f (3)(x) = 24x ; f (4)(x) = 24 ; f (5)(x) = 0 donc ∀n ≥5, f (n)(x) = 0 FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Variations d'une fonction a) Signe de la dérivée et sens de variation Soit f une fonction dérivables sur un intervalle I ⊂R. Alors 1 f est croissante sur I ⇐ ⇒f ′(x) ≥0 ∀x ∈I 2 f est décroissante sur I ⇐ ⇒f ′(x) ≤0 ∀x ∈I 3 f est constante sur I ⇐ ⇒f ′(x) = 0 ∀x ∈I FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Variations d'une fonction b) Convexité et concavité 1 Une fonction f qui à x associe f (x) dont la dérivée seconde est positive pour toute valeur de x dans un intervalle est dite convexe sur cet intervalle. 2 Une fonction f qui à x associe f (x) dont la dérivée seconde est négative pour toute valeur de x dans un intervalle est dite concave sur cet intervalle. En résumé, si f ”(x) ≥0 pour tout x ∈[a, b], alors f est convexe sur [a, b] et si f ”(x) ≤0 pour tout x ∈[a, b], alors f est concave sur [a, b]. FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Exemple 1) f (x) = x2, ∀x ∈R : f ”(x) = 2 > 0 donc f est convexe sur R 2) g(x) = 1 x ∀x ∈R−∗: g”(x) = 2 x3 < 0 g est concave sur ] −∞, 0[ FOUAD KISSI ANALYSE MATHÉMATIQUES Variations d'une fonction c) Extremums (points critiques) Dé nition : Soit f : I 7− →R une fonction f admet un minimum (resp un maximum) local ou relatif en x0 ∈I si :il existe un voisinage de x0 tel que ∀x ∈Vx0 ∩I : f (x0) ≤f (x) ( resp f uploads/Management/ analyse-mathematiques.pdf