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UNIVERSITE DE MAROUA ECOLE NORMALE SUPERIEURE 2015-2016 SYLLABUS DES ENSEIGNEME

UNIVERSITE DE MAROUA ECOLE NORMALE SUPERIEURE 2015-2016 SYLLABUS DES ENSEIGNEMENTS DU DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES D E P A R T E M E N T D E M A T H E M A T I Q U E S ( C A M E R O U N ) MAL11/MAL15 Syllabus du cours d’Analyse 1 Nom et prénom de l’enseignant : NANGUE ALEXIS Fonction : Enseignant Grade : Assistant Semestre 1 Intitulé de l’unité d’enseignement : Analyse 1 Code de l’unité d’enseignement : MAL 11 (Parcours Mathématiques)/ MAL 15 (Parcours In- formatique) CM : 30 heures TD : 30 heures Année académique 2015-2016. Objectif Général Jeter les bases de l’analyse. Acquérir les notions fondamentales d’analyse. Etude des réels, des suites réelles et des fonctions d’une variable réelle : approfondissement du programme de Terminale. Apprentissage de la rigueur mathématiques, développement d’outils de calcul.Etude plus poussée des fonctions. Chapitre I. Les nombres réels Objectifs – Mise en place de R (en partie admise). – Manipulation pratique, dans R, des opérations, inégalités, valeurs absolue, bornes su- périeures bornes inférieures, partie entière, nombres irrationnels. I.1 Les nombres réels I.1.1 Existence et unicité de R. I.1.2 Propriétés élémentaires des nombres réels. I.1.3 Inégalités classiques importantes. I.2 Les propriétés fondamentales de R. I.2.1 Caractérisation de la borne inférieure et e la borne supérieure. I.2.2 Propriété d’Archimède, Partie entière d’un nombre réel. I.2.3 Nombres irrationnels. I.2.4 Droite numérique achevée. I.3 Exercices d’applications Chapitre II. Suite numérique Objectifs – Déﬁnir rigoureusement les notions de convergence et divergence pour une suite réelle. – Étudier complètement une suite réelle donnée. A.NANGUÉ c ⃝Novembre 2015 MAL11/MAL15 II.1 Convergence et divergence. II.1.1 Déﬁnitions. II.1.2 Propriétés des suites convergentes. II.1.2.1 Opérations sur les limites. II.1.2.2 Suites de Cauchy. II.1.3 Exemples élémentaires de suites. II.1.3.1 Suites arithmétiques. II.1.3.2 Suites géométriques. II.2 Monotonie. II.2.1 Suites réelles monotones. II.2.2 Suites adjacentes. II.3 Suites extraites. II.4 Suites récurrentes. II.4.1 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2. II.4.2 Applications. II.5 Exercices d’applications. Chapitre III. Topologie usuelle de R Objectifs Il s’agit ici de jeter les bases de la topologie : cette dernière étant une notion fondamentale dans le domaine de l’analyse et même en Mathématiques en général. Beaucoup d’autres notions sont liées à elle, on citera par exemple les notions de limite, de continuité, de convergence...C’est donc une notion à très bien comprendre. III.1 Ouverts, fermés, voisinages. III.2 Fermeture, intérieur, frontière. III.3 Compacité des intervalles fermés et bornés(segments). III.4 Limite supérieur, limite inférieur d’une suite. III.5 Exercices d’applications. Chapitre IV. Fonctions numériques d’une variable réelle : limite et continuité. Objectifs – Déﬁnition rigoureuse des notions de limite et de continuité. – Manipulation des fonctions ayant une limite. – Manipulation des fonctions continues VI.1 Limites d’une fonction. VI.1.1 Opérations sur les limites. VI.1.2 Limites inﬁnies. VI.2 Continuité. VI.2.1 Continuité locale. VI.2.2 Continuité globale. VI.2.3 Continuité uniforme. A.NANGUÉ c ⃝Novembre 2015 MAL11/MAL15 VI.3 Fonctions circulaires réciproques. VI.3 Fonctions hyperboliques et leur réciproques. VI.5 Exercices d’applications Chapitre V. Dérivabilité et fonctions convexes Objectifs – Utiliser la dérivation en vue de l’étude des variations et des extrema d’une fonction d’une variable d’une variable réelle. – Déﬁnir, étudier et utiliser des fonctions réelles convexes d’une variable réelle. V.1 Dérivées V.1.1 Dérivée en un point. V.1.2 Application dérivée. V.1.3 Dérivées successives. V.1.3 Classe d’une fonction V.2 Théorème de Rolle, théorème des accroissements ﬁnis. V.3 Variations des fonctions V.3.1 Etude de la monotonie pour une fonction dérivable. V.3.2 Etude des extrema pour une fonction dérivable. V.4 Fonctions convexes. V.5 Exercices d’applications. Bibliographie 1. Cours de Mathématiques. Jean Marie ARMAUDIEZ, DUNOD (1991). 2. Éléments d’Analyse. Jean Marie MONIER DUNOD (2008). 3. Les méthodes et exercices de Mathématiques MPSI. Jean Marie Monier, (2008) 4. Exercices résolus des compléments d’analyse du cours de Mathématiques. Jean Marie ARMAUDIEZ, DUNOD (1995). 5. Cours de Mathématiques Spéciales, topologie, Tome 3. Rami E Deschamps, C.Odoux Masson (1991). 6. Mathématiques analyse en 30 ﬁches, Daniel Fredon, Frederic Bertrand DUNOD (2009) Alexis NANGUE Le Chef de Département A.NANGUÉ c ⃝Novembre 2015 Université de Maroua Année 2015-2016 DIPES I, L3 École Normale Supérieure Département de Maths Parcours Maths & Info SYLLABUS DU COURS DE COMPLEMENT D’ANALYSE (MAL 51/ MAL 55) Nom et prénom de l’enseignant : NANGUE ALEXIS Fonction : Enseignant Grade : Assistant Semestre : 5 Intitulé de l’unité d’enseignement : Complément Analyse Code de l’unité d’enseignement : Mal 51 (Parcours Mathématiques) Mal 55 (Parcours Informatique) Parcours Mathématiques ; CM : 30 heures TD : 20heures TPE : 10 heures Parcours Informatique ; CM : 30 heures TD : 20heures TPE : 10 heures Pré-requis : Analyse 1, Analyse 3, Logique et la théorie des ensembles. Année académique 2015-2016. Date du Contrôle continu : 06/12/2015. Date de dépot du rapport du TPE : trois semaines aprés réception du sujet de TPE. Introduction Générale Un ensemble muni d’une structure topologique prend le nom d’espace topologique, ses éléments prennent le nom de points. La branche des mathématiques qui étudie les structures topologiques porte le nom de Topologie (étymologiquement "science du lieu", nom peu expressif par lui-même) que l’on préfère aujourd’hui à celui d’Analysis situs qui en est synonyme. Chapitre I RAPPELS SUR R ET SUR LES ESPACES METRIQUES CM : 8 heures TD : 5 heures 0.1 Rappels sur R 0.1.1 Quelques propriétés de R. 0.1.2 Partie positive (négative) : valeur absolue, Intervalle, distance 0.1.3 Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure 0.1.4 Suites numériques 0.1.5 Racine carrée 0.2 Rappels sur les espaces métriques Parcours Maths & Info 1 A.NANGUÉ c ⃝Octobre 2015 Complément d’Analy 0.2.1 Déﬁnitions. 0.2.2 Topologie d’un espace métrique 0.2.3 Isométrie et transport de distance 0.2.4 Espace vectoriel normé 0.3 Exercices d’application Chapitre II NOTIONS DE BASE SUR LES ESPACES TOPOLOGIQUES. CM : 8 heures TD : 6 heures Dans ce chapitre, nous préesentons toutes les notions de base de la topologie. Nous allons dée- gager les structures qui permettent de parler de limite et de continuité. L’exemple fondamental déjà étudié en premier cycle est le cas de R et de Rn. La théorie générale englobe bien sûr cet exemple - qu’il faut garder en tête - mais conduit parfois à des situations moins intuitives. I.1 Ouverts-Voisinages. I.1.1 Déﬁnitions et exemples. I.1.2 Propriétés. I.2 Bases d’ouverts, bases de voisinages.. I.2.1 Déﬁnitions et exemples. I.2.2 Propriétés. I.3 Fermés, Séparation, Régularité, Normalité, Suites. I.4 Adhérence, Dérivé, Séparabilité. I.5 Intérieur, extérieur, Frontière. I.6 Comparaison de topologies. I.7 Topologie induite. I.7.1 Théorème et déﬁnition. I.7.2 Propriétés. I.9 Exercices d’application Chapitre III FONCTIONS CONTINUES CM : 4 heures TD : 4 heures II.1 Continuité ponctuelle de fonctions.. II.2 Contunuité d’une fonction sur un ensemble. II.3 Continuité et comparaison de topologies II.4 Suites récurrentes. II.4.1 Propriété caractéristique.. Parcours Maths & Info 2 A.NANGUÉ c ⃝Octobre 2015 Complément d’Analy II.4.2 Topologie induite et continuité. II.4.3 Homéomorphisme II.6 Exercices d’applications. Chapitre IV TOPOLOGIE PRODUIT ET TOPOLOGIE QUOTIENT. CM : 4 heures TD : 3 heures III.1 Image reciproque d’une topologie engendrée par une famille. III.1.1 Image réciproque d’une topologie. III.1.2 Borne inférieure d’une famille de topologies. III.1.3 Topologie engendrée par une famille de parties. III.2 Espace topologique produit. III.2.1 Déﬁnitions et propriétés. III.2.2 Topologie sur un produit ﬁni d’espaces. III.3 Espace topologique quotient. III.4 Exercices d’application. Chapitre V CONNEXITE ET LOCALE CONNEXITE. CM : 4 heures TD : 3 heures VI.1 Locale connexité. VI.2 Composantes connexes. VI.3 Connexité par arcs. VI.3.1 Composantes connexes par arcs. VI.3.2 Locale connexité par arcs. VI.3 Espaces simplement connexes. VI.5 Exercices d’application Chapitre VI COMPACITE ET LOCALE COMPACITE. CM : 4 heures TD : 3 heures V.1 Généralités sur les espaces compacts. V.2 Continuité et compacité-théorème de Tychonoﬀ. V.2.1 Fonctions continues sur les espaces compactes. V.2.2 Théorème de Tychonoﬀ. V.2 Espace topologiques localement compacts. V.3 Compactiﬁcation d’Alexandroﬀ. Parcours Maths & Info 3 A.NANGUÉ c ⃝Octobre 2015 Complément d’Analy V.4 Exercices d’application. Références 1. Eléments de Mathématiques, Topologie Générale, Chapitre 1-4, BOURBAKI (2007) 2. Gustave Choquet, Cours de Topologie. Masson. 3. Éléments d’Analyse. DIEUDONNE JEAN. 4. Cours de Mathématiques Spéciales, topologie, Tome 3. Rami E Deschamps, C.Odoux Masson (1991). 5. Introduction à la Topologie, Université de Rennes, Licence de Mathématiques, FRANCIS NIER. 6. LAURENT SCHWARTZ, Topologie générale, Hermann. 7. General Topology, J.L. KELLY, Van Nostand (1985). 8. Topology, seconde édition, James R. Munkres (2000) Alexis NANGUE Le Chef de Département Parcours Maths & Info 4 A.NANGUÉ c ⃝Octobre 2015 ANALYSE 4 Université de Maroua Année 2015-2016 DIPES I, L2 École Normale Supérieure Département de Maths Parcours Maths & Info SYNOPSIS DU COURS D’ANALYSE 4 (MAL 41/ MAL 45) Nom et prénom de l’enseignant : NANGUE ALEXIS Fonction : Enseignant Grade : Assistant Semestre : 4 Intitulé de l’unité d’enseignement : Complément Analyse : Topologie Générale Code de l’unité d’enseignement : Mal 41 (Parcours Mathématiques) Mal 45 (Parcours Informatique) Parcours Mathématiques ; CM : 30 heures TD : 20heures TPE : 10 heures Parcours Informatique ; CM : 30 heures TD : 20heures TPE : 10 heures Pré-requis : Analyse 1, Analyse 2, Analyse 3. Année académique 2015-2016. Date du Contrôle continu : 07/04/2016. Date de dépot du rapport du TPE : trois semaines aprés réception uploads/Management/ maths-syllabus.pdf