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s2i.pinault-bigeard.com Lycée La Fayette - Clermont-Ferrand Page 1 / 28 CPGE - Sciences Industrielles de l'Ingénieur - Chapitre 3 MPSI Analyse des performances des SLCI Cours v1.41 Lycée La Fayette 21 Bd Robert Schuman 63000 Clermont-Ferrand Académie de Clermont-Ferrand Compétences visées: A3-03 Identi er la structure d'un système asservi: chaine directe, capteur, commande, consigne, com- parateur, correcteur B2-04 Déterminer les réponses temporelles et fréquentielles aux entrées de type signal canonique B2-05 Analyser ou établir le schéma-bloc du système B2-08 Renseigner les paramètres caractéristiques d'un modèle de comportement C2-01 Prévoir la réponse temporelle à un échelon C2-05 Relier la stabilité aux caractéristiques fréquentielles C2-06 Prévoir les performances en termes de rapidité s2i.pinault-bigeard.com Lycée La Fayette - Clermont-Ferrand Page 2 / 28 CPGE MPSI - S2I Analyse des performances des SLCI Cours Table des matières 1 Un outil : la transformée de Laplace 4 1.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Propriété essentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Notion de fonction de transfert 6 2.1 Dé nition et obtention de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.1 Système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Système du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.3 Fonction de transfert du moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Représentation par schéma-blocs et fonction de transfert globale d'un système com- plexe 9 3.1 Modélisation par schéma-blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Association de blocs en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Diérentes fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3.1 Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) d'un système bouclé . . . . . . 11 3.3.2 Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) d'un système bouclé . . . . . . 12 3.4 Retour sur l'exemple du bras de robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Détermination des performances 14 4.1 Retour dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Détermination pratique des performances dans le domaine de Laplace . . . . . . . . . . 15 4.2.1 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2.2 Rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2.3 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Annexes 18 5.1 Complément au calcul de fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.1.1 Manipulation des schéma-blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.1.2 Déplacer un bloc avant ou après un sommateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.1.3 Déplacer un bloc avant ou après une jonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.1.4 Inversion de sommateurs ou de jonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.1.5 Blocs en parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.1.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s2i.pinault-bigeard.com Lycée La Fayette - Clermont-Ferrand Page 3 / 28 CPGE MPSI - S2I Analyse des performances des SLCI Cours 5.2 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2.2 Tableaux des transformées de Laplace usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 s2i.pinault-bigeard.com Lycée La Fayette - Clermont-Ferrand Page 4 / 28 CPGE MPSI - S2I Analyse des performances des SLCI Cours L'écriture sous forme d'équations diérentielles des SLCI n'est pas très bien adaptée aux études qui nous intéressent (choix de correcteur, détermination rapide des performances...). L'outil privilégié pour traiter un SLCI de manière e cace est la transformation de Laplace qui permet d'obtenir simplement une relation algébrique entre la sortie et l'entrée du système. 1 Un outil : la transformée de Laplace La transformée de Laplace est une application mathématique permettant d'exprimer une fonc- tion temporelle dans un domaine virtuel, le domaine de Laplace, où la manipulation des expressions sera bien plus simple. 1.1 Dé nition L'annexe page 22 présente quelques aspects théoriques sur la transformée de Laplace mais pour les besoins de l'analyse des systèmes, très peu de propriétés sont à retenir. Il s'agit donc en priorité de savoir utiliser l'outil tel qu'indiqué par la suite, a n de modéliser les systèmes. Un approfondissement de l'annexe n'est pas indispensable dans le cadre du programme Sciences de l'Ingénieur. Soit f une fonction de la variable t (le temps) dé nie sur R. Sous réserve d'existence, on note F(p) la transformée de Laplace L[f(t)] de la fonction f(t) : f(t) L − →F(p) = Z ∞ t=0−f(t)e−pt dt avec p une variable complexe, appelée variable de Laplace. Dé nition Transformée de Laplace p est une variable tout à fait symbolique puisqu'elle ne prendra aucune valeur pour application numérique. Ces fonctions f représentent des grandeurs physiques : intensité, température, eort, vitesse... Dans les cas rencontrés en ingénierie, les conditions d'existence de la transformée sont toujours réunies. On note la transformation inverse L−1 : f(t) = L−1[F(p)]. Dans les pays anglo-saxons, la variable de Laplace est souvent notée s, pour symbolic variable. Les uploads/Management/ anaslci-co-analyse-des-performances-des-slci.pdf
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- Publié le Oct 16, 2021
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