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Chapitre 10 Arithmétique Sommaire I Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 10 Arithmétique Sommaire I Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1) La propriété fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2) La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3) Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4) Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 II Éléments premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1) Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2) Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 III Le plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 1) Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3) Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 IV Le plus petit multiple commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1) Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 V Nombres premiers, décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1) Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2) Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3) Notion de valuation p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 VI Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 I DIVISIBILITÉ 1) La propriété fondamentale Toute partie de Z non vide et minorée admet un plus petit élément. Théorème 10.1 Preuve : Soit A une partie de Z non vide et minorée par un entier n0. Soit M l’ensemble des minorants de A, on a n0 ∈M, supposons que n ∈M = ⇒n +1 ∈M, alors d’après le principe de récurrence, ∀n ∈Z,n ⩾n0 = ⇒n ∈M. Soit p ∈A, p ⩾n0, donc p +1 ∈M ce qui entraîne que p +1 ⩽p : absurde, donc il existe un entier n1 tel que n1 ∈M et n1 +1 ∉M, mais alors il existe un élément p1 de A tel que p1 < n1 +1, d’où n1 ⩽p1 < n1 +1, ce qui entraîne p1 = n1, et donc n1 ∈A, nécessairement n1 est le plus petit élément de A. □ • Toute partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément. En effet, si A est non vide majorée, alors −A = {−a / a ∈A} est non vide minorée, donc −A admet un plus petit élément −n0, ce qui signiﬁe que n0 est le plus grand élément de A. • Toute partie non vide de N admet un plus petit élément (propriété fondamentale de N). À retenir MPSI3 (2018-19) LYCÉE MONTAIGNE – 95 – ©Fradin Patrick – Divisibilité Chapitre 10 : Arithmétique 2) La division euclidienne Soient a ∈Z et b ∈Z∗, il existe un unique couple d’entiers (q,r) tel que a = bq +r avec 0 ⩽r < |b|, q est appelé le quotient, et r le reste. Théorème 10.2 Preuve : Supposons b > 0 : soit B = {b(n +1) / n ∈Z}, alors B est non majoré et non minoré, donc il existe un entier n1 tel que a < b(n1 +1) et il existe un entier n2 tel que b(n2 +1) < a. Soit A = {n ∈Z / a < b(n +1)}, alors A est non vide (n1 ∈A) et minoré par n2, donc A admet un plus petit élément q, d’où bq ⩽a < b(q +1), en posant r = a −bq, on a a = bq +r et 0 ⩽r < b = |b|. Supposons b < 0 : on applique ce qui précède à −b > 0, il existe un entier q et un entier r tels que a = (−b)q +r = b(−q)+r avec 0 ⩽r < −b = |b|. Montrons l’unicité : si a = bq +r = bq′ +r ′ avec 0 ⩽r < |b| et 0 ⩽r ′ < |b|, alors |r −r ′| = |bq′ −bq| = |b||q′ −q| < |b|, d’où q′ = q (ce sont des entiers) et donc r ′ = r. □ Soient a,b ∈Z, on dit que b divise a lorsqu’il existe k ∈Z tel que a = bk. Notation : b|a. Déﬁnition 10.1 Remarque 10.1 – On a ainsi déﬁni une relation dans Z, elle est réﬂexive, non symétrique, non antisymétrique, et transitive. Soient a,b ∈Z avec b ̸= 0, alors b|a ssi le reste dans la division euclidienne de a par b est nul. Théorème 10.3 Preuve : Celle-ci est simple et laissée en exercice. □ Notation : Soit n ∈Z, on note nZ l’ensemble des multiples de n, nZ = {kn / k ∈Z}. • b | a ⇐ ⇒a ∈bZ. • Si a ̸= 0, alors b uploads/Management/ arithmetique-cours-1.pdf