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1 QUELQUES APPLICATIONS DU FILTRE DE KALMAN EN FINANCE : ESTIMATION ET PRÉVISIO

1 QUELQUES APPLICATIONS DU FILTRE DE KALMAN EN FINANCE : ESTIMATION ET PRÉVISION DE LA VOLATILITÉ STOCHASTIQUE ET DU RAPPORT COURS-BÉNÉFICES François-Éric Racicot* Raymond Théoret Département des sciences administratives Département Stratégie des Affaires Université du Québec, Outaouais Université du Québec, Montréal RePAD Working Paper No. 0312005 *Adresse postale : François-Éric Racicot, Département des sciences administratives, Université du Québec en Outaouais, Pavillon Lucien Brault, 101 rue Saint Jean Bosco, Gatineau, Québec, Canada, J8Y 3J5. Correspondance : francoiseric.racicot@uqo.ca. Raymond Théoret, Département stratégie des affaires, Université du Québec à Montréal, 315 est, Ste-Catherine, Montréal, H2X- 3X2. Correspondance : theoret.raymond@uqam.ca. Ce papier est l’un des chapitres de notre prochain ouvrage intitulé : Finance computationnelle et gestion des risques. 2 Quelques applications du filtre de Kalman en finance : estimation et prévision de la volatilité stochastique et du rapport cours-bénéfices Résumé Le filtre de Kalman est de plus en plus utilisé en finance, notamment pour estimer les processus de diffusion. Dans cet article, nous montrons comment on peut l’utiliser pour prévoir, d’une part, la volatilité des taux d’intérêt et de rendements boursiers, et d’autre part le rapport cours-bénéfices du S&P500. Le filtre de Kalman est donc très versatil lorsque des variables, telles la volatilité ou le rapport cours-bénéfices prévu, sont inobservées. Nous montrons que l’application du filtre de Kalman met toutefois fortement à contribution le jugement du prévisionniste. Une erreur de spécification du modèle peut en effet se traduire par une prévision fortement biaisée. Abstract The popularity of Kalman filter is increasing in financial studies, notably to estimate diffusion processes. In this article, we show how we can use it to forecast the volatility of returns and the price-earnings ratio of the S&P500. The Kalman filter is consequently very versatile when variables, as volatility or forecasted price-earnings ratio, are unobserved. But the forecaster must use his judgment when he uses the Kalman filter. An error of specification in the model may give way to very biased forecasts. Mots-clefs : Filtre de Kalman; processus de diffusion; prévision financière; économétrie financière. Keywords : Kalman filter; diffusion processes; financial forecasting; financial econometrics. JEL : C5; G12. 3 1. Introduction Le filtre de Kalman trouve de plus en plus d’applications en finance. Dans ce papier, nous montrons comment on peut l’utiliser pour prévoir deux variables financières clefs : la volatilité stochastique et le rapport cours-bénéfices. Dans leur fameuse équation du prix d’un option d’achat européenne publiée en 1973, Black et Scholes ont supposé que la volatilité du cours de l’action, soit le sous-jacent de l’option, était constante. Ils ont donc fait appel au concept de volatilité inconditionnelle pour définir leur équation. L’écart type historique du rendement de l’action était alors privilégié comme mesure empirique de la volatilité. Mais, par la suite, on s’est rendu compte que la variance n’était pas une variable hiératique mais qu’elle était conditionnelle à l’ensemble d’informations disponibles au moment de son calcul. Mais, malheureusement, il n’existe pas une seule procédure pour calculer et prévoir la volatilité conditionnelle. Dans cet article, nous nous intéressons à la volatilité stochastique que nous comparons au modèle GARCH(1,1). Nous constatons que ces deux mesures donnent des résultats apparentés mais qui peuvent diverger à court terme. Nous montrons aussi que la spécification retenue pour la version empirique de la volatilité stochastique importe beaucoup et que l’omission de certains paramètres, comme cela est souvent le cas dans les modèles théoriques, peut se traduire par des résultats aberrants. La volatilité stochastique du rendement mensuel du taux de rendement des bons du Trésor canadien et du rendement journalier du S&P TSX sera estimée par le filtre de Kalman. De manière à démontrer la versatilité de cette méthode de filtrage, nous l’appliquons également à la prévision du rapport cours-bénéfices de l’indice boursier américain S&P500. 4 Mais avant de présenter nos estimations, nous rappelons brièvement la technique que nous mettons de l’avant dans cet article, soit le filtre de Kalman. 2. Le filtre de Kalman1 Supposons que la série temporelle yt, représentée par le vecteur (y0, y1,…,yn) soit observable. Cette variable peut par exemple être le taux de rendement d’un titre financier. Elle dépend de la variable ht qui elle n’est point observable. Cette dernière variable pourrait être la volatilité stochastique de yt. Comme l’on ne peut observer ht, il faudra simuler sa valeur. Nous ne connaissons pas non plus la variance de ht, que nous représentons par t ω . Le modèle se présente donc comme suit : t t 2 1 t h y ε + θ + θ = t t 4 3 1 t h h η + θ + θ = + avec i θ , les paramètres à estimer; t ε , un bruit gaussien dont la variance est de t 1 ν et t η , un bruit gaussien dont la variance est de t 2 ν . La première équation est dite équation de mesure alors que la seconde est l’équation de transition ou d’état. Au temps (t-1), des estimés de ht-1, de sa variance 1 t− ω ainsi que des coefficients 1 t , i − θ doivent être fournis. Si l’on se situe au temps 0, on doit disposer d’une estimation préliminaire de h0 et de 0 ω . Mais comme ces valeurs sont alors inconnues, le logiciel EViews attribue une valeur nulle à h0 et une valeur élevée à 0 ω de façon à prendre en compte l’incertitude importante qui est alors reliée à l’estimation de h0. 1 Pour rédiger cette section, nous suivons la démarche de : James, J. et Webber N.(2000), Interest Rate Modelling, Wiley. Le manuel suivant de Harvey est devenu un classique dans le domaine du filtre de Kalman : Harvey, A.C. (1989), Forecasting, structural time series models and the Kalman filter, Cambridge University Press. On consultera également Wang (2003) sur l’utilisation du filtre de Kalman en finance et les modèles de volatilité stochastique. 5 Revenons au temps (t-1) de la simulation ou du filtrage, si l’on veut, et donnons les trois étapes de la procédure suivie par le filtre de Kalman. Étape 1 : étape de la prévision Nous calculons alors les deux prévisions suivantes : i) 1 t ht −, la prévision de ht au temps (t-1), soit l’espérance conditionnelle de ht étant donné l’information disponible au temps (t-1); ii) 1 t t − ω , la prévision de t ω au temps t-1, soit l’espérance conditionnelle de t ω étant donné l’information disponible au temps (t-1). Ces prévisions , qui sont des estimations conditionnelles non biaisées, se calculent comme suit : 1 t 1 t , 4 1 t , 3 1 t t h h − − − − θ + θ = 1 t , 2 1 t 2 1 t , 4 1 t t − − − − ν + ω θ = ω Étape 2 : étape de la révision Au temps t, on dispose d’une nouvelle observation de y, soit yt. On peut alors calculer l’erreur de prévision t υ : 1 t t 1 t , 2 1 t , 1 t t h y − − − θ − θ − = υ La variance de t υ , représentée par t ψ , est de : 1 t , 1 1 t t 2 1 t , 2 t − − − ν + ω θ = ψ On se sert de t υ et de t ψ pour mettre à jour ht et sa variance, t ω , : t t 1 t t 1 t , 2 1 t t t h h ψ υ × ω × θ + = − − − t 2 1 t t 2 1 t , 2 1 t t t ψ ω × θ + ω = ω − − − 6 Ces deux derniers estimateurs sont les estimateurs non biaisés conditionnellement qui minimisent la variance de ceux-ci. Le filtre de Kalman est donc optimal en ce sens qu’il est le meilleur estimateur dans la classe des estimateurs linéaires. Étape 3 : estimation des paramètres On recourt à la méthode du maximum de vraisemblance pour estimer les paramètres i θ . La fonction de vraisemblance est la suivante : ( ) ∑ ∑ ψ υ − ψ − = t t 2 t t t 2 1 log 2 1 l L’on passe au temps (t+1) et l’on refait cette procédure en trois étapes jusqu’à la période n. 3. Estimation de la volatilité stochastique à l’aide du filtre de Kalman2 Supposons l’équation différentielle suivante pour le logarithme de la variable P : ( ) t 1 dz t dt P dP )) P (log( d σ + µ = = (1) Sa discrétisation donne lieu à un processus de produit (product process): t t t U x σ + µ = (2) avec ( ) t t P log x ∆ = et Ut , une variable standardisée telle que E(Ut) = 0 et V(Ut) = 1. La variance conditionnelle de xt est égale à : 2 Pour rédiger uploads/Management/ article-fil-trede-kalman.pdf