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CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA L’Apport de la THH dans l’Analyse des Signaux

CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA L’Apport de la THH dans l’Analyse des Signaux Non-Stationnaires A. Kabla, K. Mokrani Faculté de la Technologie, Département d’Electronique, Laboratoire (LTII), Université A/Mira Bejaia Route de Targua Ouzemour, Béjaia 06000, Algerie kablaaida@yahoo.fr, mokrani_k@yahoo.fr Résumé— Notre objectif dans ce travail est de présenter une comparaison entre les méthodes de traitement et d’analyse des signaux non- stationnaires multi-composantes à savoir ; les représentation temps- fréquence de la classe de Cohen et les Ondelettes avec une nouvelle méthode de type temps-fréquence basée sur l’utilisation conjointe de la décomposition modale empirique (EMD) et la transformée de Hilbert (HT) appelée la transformée de Hilbert Huang (THH). I. INTRODUCTION Le traitement du signal est la discipline qui développe et étudie les techniques de traitement, d’analyse et d’interprétation des signaux des signaux. Elle fait donc largement appel aux résultats de la théorie de l’information, des statistiques ainsi qu’à de nombreux autres domaines des mathématiques appliquées. Habituellement, les signaux issus des phénomènes physiques sont de nature non- stationnaire, voire également formés de plusieurs composantes fréquentielles (signaux multi- composantes). Ces signaux sont bref et ne se répètent que rarement, et se manifestent par des oscillations évoluant au cours du temps. Dans de telles situations, la représentation temporelle classique du signal ne donne pas une bonne perception des composantes oscillantes multiples, tandis que la représentation fréquentielle ne permet pas la localisation temporelle des ces composantes. Ainsi, en partant des propriétés des signaux et des limitations de la transformées de Fourier (TF), il est naturel de s’orienter vers un schéma d’analyse temps- fréquence multi- composantes. En effet par définition, les représentations temps- fréquence (RTF) permettent de décrire le contenu des signaux conjointement en temps et en fréquence et fournissent une information sur la façon dont la fréquence du signal varie au cours du temps. Si les RTF de la classe de Cohen constituent un moyen puissant pour l’analyse des signaux non-stationnaires, elles posent en revanche un problème pour l’interprétation et la lisibilité des représentations obtenues en raison de la présence de termes d’interférences (liée à la nature bilinéaire de ces représentations) [1]. Par conséquent, l’estimation des attributs à partir de ces représentations nécessaires, par exemple, à la classification d’un signal sera biaisée. Le lissage temps-fréquence peut réduire les interférences mais introduit des erreurs de localisation en temps et en fréquence. Rappelons que la TF est limitée aux signaux stationnaires et aux systèmes linéaires. Ainsi, toutes les méthodes, telles que le spectrogramme ou la distribution de Wigner-Ville, basées sur la TF auront intrinsèquement, plus ou moins, les mêmes limites. Par ailleurs, aussi bien les RTF de la classe de Cohen que les ondelettes [2] nécessitent la spécification d’un noyau ou d’une fonction de base. Or, il n’existe pas de noyau de base universel. Ainsi l’idéal est de trouver une décomposition adaptée au signal, ne nécessitant pas d’informations a priori sur ce dernier, et qui permette d’obtenir une description temps-fréquence. Partant des limitations énumérées ci-dessus, Huang et al. [3] ont récemment propose une méthode abordant sous un autre angle la problématique d’analyse des signaux non- stationnaires : la décomposition modale empirique (EMD pour empirical mode decomposition). Contrairement aux RTF ou aux ondelettes, la base de décomposition de l’EMD est intrinsèque au signal. L’extraction des composantes oscillantes appelées modes empiriques (IMF pour Intrinsic Mode Functions) est non-linéaire, mais leur recombinaison linéaire est exacte. L’EMD seule n’est pas une analyse temps-fréquence, mais sa combinaison avec la transformée d’Hilbert (TH) ou une autre méthode d’estimation de la fréquence instantanée (FI) permet d’obtenir une RTF. Ainsi, l’EMD couplée avec la TH est une description temps- fréquence appelée Transformation de Huang-Hilbert (THH). Notre objectif dans ce travail est de comparer les méthodes temps- fréquence et les ondelettes avec la THH. CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA II. METHODE TEMPS FRÉQUENCE En 1966, L. Cohen proposa une formulation générale à partir de laquelle toutes les représentations conjointes en temps et en fréquence (R.C.T.F) bilinéaire peuvent être obtenues par le choix d’une fonction de pondération. L’expression de cette classe des représentations temps- fréquence bilinéaire est donnée par: [4] ( ) ( ) ( ) τ τ τ φ φ τ π π d dv df e e v x v x t , f , f , t C f j t v f j * x 2 2 2 2 − − +∞ ∞ −      −      + =∫∫∫ (1) ( ) v x : Le signal temporel analysé, ( ) v x* sont complexe conjugué ; ( ) τ φ , f : Fonction arbitraire de pondération ou noyau représentatif d’une fonction particulière. A. Analyse par Wigner Ville La distribution de Wigner-Ville (DWV), pour laquelle le noyau ( ) 1 = τ φ , f , est le prototype de toutes les R.C.T.F de la classe de Cohen. Originalement, elle fut proposée par E.P. Wigner en 1932. En 1948, J.Ville, développa la notion de signal analytique et par suite, étendit le champ des applications de la distribution de Wigner-Ville pour faire référence à la distribution de Wigner utilisant le signal analytique associé au signal réel. La transformée de Wigner-Ville, associée à un signal temporel ( ) t x , est dé définie par : ( ) τ τ τ τ π d e v x t x f , t w f j * x 2 2 2 − +∞ ∞ −      −      + = ∫ (2) t : est la variable temporelle f : est la variable fréquentielle ( ) v x* : Le signal temporel conjugué analysé. Son expression dual en fréquence est donné par : [4] ( ) η η η η π d e f X f X t , f W f j x 2 2 2       −       + = ∫ +∞ ∞ − (3) Sa définition en temps discret est donné par : ( ) ( ) ( ) fk j * k x e k n x k n x f , n P π 4 2 − +∞ −∞ = − + = ∑ (4) B. Analyse per Pseudo Wigner- Ville Lissée La PWV a pour effet de réduire les ondulations parasites en effectuant un lissage fréquentiel. Cependant, les ondulations encore présentes dans la PWV peuvent être atténuées en lissant cette dernière, cette fois ci en temps. Cette transformation est appelée Pseudo Wigner-Ville lissée et a pour expression : [4] En temps continu : ( ) ( ) τ τ τ π d e du t u x t u x t u g h f , t PWVL f j * x 2 2 2 2 2 − +∞ ∞ − +∞ ∞ −              +      − −       = ∫ ∫ (5) En temps discret : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k f j N N k M M m * x e k m n x k m n x m g k h f , n PWVL π 2 1 1 1 1 2 2 − − + − = − + − = ∑ ∑         − + + + = (6) g : fenêtre de lissage fréquentielle. h : fenêtre de lissage temporelle. III. ANALYSE TEMPS- ECHELLE La transformée en ondelettes s’est imposée comme une technique performante et digne d’intérêt. C’est une représentation temps-échelle qui permet de décrire l’évolution temporelle des caractéristiques d’un signal relativement à une échelle d’observation donnée. L'analyse est réalisée au moyen d'une fonction ψ appelée ondelette de base (ou ondelette mère) qui permet de spécifier les caractéristiques du signal que l’on souhaite détecter. L'analyse en ondelettes consiste alors à positionner, dans le domaine temporel, l’ondelette mère en regard de la partie du signal à traiter, on parlera alors de translation. L’ondelette mère est ensuite dilatée ou contractée, par l'utilisation du facteur d'échelle « a », permettant de concentrer l'analyse sur une gamme donnée d'oscillations. Quand l'ondelette est dilatée, l'analyse explore les composantes du signal qui oscillent plus lentement, quand elle est contractée, l'analyse explore les oscillations rapides comme celles contenues dans une discontinuité du signal. L’expression générale de la transformée en ondelettes continue à pour forme : [5] ( ) ( ) dt a b t * t s a a , b C 2 1 ∫ ∞ ∞ − −      − Ψ = (7) Où ( ) t ψ représente l’ondelette mère, b le paramètre de translation et a le paramètre d’échelle ( 0 a ≠ ). IV. ANALYSE PAR THH A. Principe de la méthode L’EMD est définie par un processus de tamisage (sifting) permettant de décomposer le signal en contribution de bases appelées modes empiriques ou IMFs (Intrinsic Mode Function) qui sont des uploads/Management/ the-me-iii-op 1 .pdf