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K. T. Houngan – EPAC/Université d’Abomey-Calavi – Systèmes Asservis – Chap. 2 :

K. T. Houngan – EPAC/Université d’Abomey-Calavi – Systèmes Asservis – Chap. 2 : Eléments d’analyse des systèmes asservis linéaires continus Page 1 CHAPITRE 2 Eléments d’analyse des systèmes linéaires continus 2.1. Schéma fonctionnel Un schéma fonctionnel (ou diagramme bloc) est un schéma synoptique utilisant des blocs fonctionnels sous formes de symboles simplifiés normalisés reliés entre eux par des liaisons orientées. Les principaux symboles sont donnés dans le tableau 2.1 : Tableau 2.1 : Principaux symboles des schémas fonctionnels Symboles Désignations Facteur de gain : symbole général. K, K1, K2 et K3 des constantes Fonction linéaire : symbole général G est la fonction linéaire Fonction non linéaire : symbole général Comparateur ou sommateur Multiplicateur Opérateur de division N = numérateur et D = dénominateur Convertisseur analogique à numérique Convertisseur numérique à analogique Nota : on admet l’usage du symbole de l’opérateur linéaire pour représenter le bloc de facteur gain. La figure 2.1 représente la forme générale du schéma fonctionnel d’un système simple à boucle fermée. Un bloc peut représenter un organe ou un ensemble d’organes. Les blocs qui ne sont pas des opérateurs arithmétiques se caractérisent par leur gain (ou fonction de transfert à voir dans un prochain paragraphe). K. T. Houngan – EPAC/Université d’Abomey-Calavi – Systèmes Asservis – Chap. 2 : Eléments d’analyse des systèmes asservis linéaires continus Page 2 Figure 2.1 : Forme générale d’un schéma fonctionnel On peut simplifier un schéma fonctionnel à l’aide de théorèmes de transformation (voir quelques théorèmes au tableau 2.2). On obtient la forme réduite de la figure 2.2 appelée forme canonique. Figure 2.2 : Forme canonique d’un schéma fonctionnel. Les principaux gains associés à la forme canonique sont : G : le gain de la chaîne avant : H : le gain de la chaîne de retour GH E B T   : gain en boucle ouverte GH G R C F    1 : gain en boucle fermée Lorsque le gain de la chaîne de retour d’un système est égal à l’unité, le système est dit à retour unitaire. A titre d’exemple, le schéma de la figure 2.2 prend la forme de la figure 2.3 pour H = 1 : Figure 2.3 : Exemple de système à retour unitaire. K. T. Houngan – EPAC/Université d’Abomey-Calavi – Systèmes Asservis – Chap. 2 : Eléments d’analyse des systèmes asservis linéaires continus Page 3 Tableau 2.2 : Quelques théorèmes de transformation des schémas fonctionnels Transformation Schéma original Schéma équivalent 1 Association d’éléments en cascade 2 Association d’éléments en parallèle 3 Déplacement d’un comparateur de l’amont vers l’aval d’un élément 4 Déplacement d’un comparateur de l’aval vers l’amont d’un élément 5 Déplacement d’un point de dérivation de l’amont vers l’aval d’un élément 6 Déplacement d’un point de dérivation de l’aval vers l’amont d’un élément 7a Elimination d’une boucle de retour négatif 7b Elimination d’une boucle de retour positif K. T. Houngan – EPAC/Université d’Abomey-Calavi – Systèmes Asservis – Chap. 2 : Eléments d’analyse des systèmes asservis linéaires continus Page 4 2.2. Entrées types utilisées dans l’analyse des systèmes Pour analyser le comportement des systèmes, on applique en entrée un signal dont le modèle est connu. Dans la présente section, nous étudierons les signaux types utilisés dans l’analyse des systèmes linéaires continus. 2.2.1. Fonction échelon Elle est définie par :         constante. avec si ) ( si 0 ) ( 0 0 A t t A t x t t t x Cette fonction permet d’analyser la réponse d’un système à un signal d’entrée constant appliqué brusquement à l’instant t0. Figure 2.4 : Fonction échelon Si A = 1 et t0 = 0, on parle de fonction échelon unité généralement notée u(t) ; la fonction échelon d’amplitude A quelconque et retardée de t0 positif quelconque est alors désignée par Au(t - t0). L’amplitude A est la différence entre la valeur à l’instant  0 t et la valeur à l’instant  0 t . On notera que u(t) est une fonction causale. 2.2.2. Fonction rampe Elle est définie par :         constante. avec si ) ( si 0 ) ( 0 0 A t t At t x t t t x Figure 2.5 Cette fonction permet d’analyser la réponse d’un système à un signal d’entrée qui varie à une vitesse constante à partir de l’instant t0 . Si A = 1 et t0 = 0, on parle de fonction rampe unité causale généralement notée r(t) ; la fonction rampe de pente A quelconque et retardée de t0 positif quelconque est alors désignée par Ar(t - t0). En pratique, la fonction rampe est remplacée par la fonction triangulaire plus facile à générer. 2.2.3. Fonction impulsion a) Impulsion rectangulaire Elle est définie par :                       0 0 0 0 0 0 ) ( t si / ) ( et si 0 ) ( t t A dt t x t t A t x t t t t t x Figure 2.6 K. T. Houngan – EPAC/Université d’Abomey-Calavi – Systèmes Asservis – Chap. 2 : Eléments d’analyse des systèmes asservis linéaires continus Page 5 b) Impulsion de Dirac Soit l’impulsion rectangulaire ) (t x ; si A = 1 et t0 = 0, la fonction ) ( lim ) ( 0 t x t     est appelée fonction de Dirac ou impulsion de Dirac, caractérisée par les relations suivantes :                    ) ( de aire 1 d ) ( 0 si 0 ) ( 0 si ) ( t t t t t t t L’aire de ) (t  (soit 1 dans le cas présent) est appelée poids ou mesure de ) (t  . On peut définir une impulsion de Dirac de poids quelconque A au point d’abscisse quelconque t0 : ) ( ) ( 0 t t A t x    La représentation graphique se fait en plaçant à l’abscisse t0 une flèche de hauteur A. Figure 2.7 : impulsion de Dira La fonction de Dirac est un outil mathématique très utile pour l’analyse des systèmes (principalement les systèmes échantillonnés), mais qui n’a aucune réalité physique. Elle possède plusieurs propriétés ; les principales sont : ■ ) ( d ) ( ) ( d ) ( ) (                      f t t f t t t f t avec  petit ■ ) ( ) ( ) ( ) (         t f t t f (localisation de la valeur f() à l’instant ) Nota : du point de vue mathématique, l’impulsion de Dirac découle de la fonction de Dirac qui, elle-même, découle de la distribution de Dirac. c) Peigne de Dirac C’est une suite infinie de fonctions de Dirac régulièrement espacées d’une durée T appelée période du peigne. Ш T (t) =          k T kT t t ) ( ) ( Pgn Figure 2.8 : Peigne de Dirac. Le peigne de Dirac permet de formaliser la périodicité d’un signal. Nota : le caractère Ш (qui ressemble aux dents d’un peigne) se prononce « cha ». K. T. Houngan – EPAC/Université d’Abomey-Calavi – Systèmes Asservis – Chap. 2 : Eléments d’analyse des systèmes asservis linéaires continus Page 6 2.2.4. Fonction harmonique Elle est définie par :       t A t x sin ) ( A est l’amplitude,  est la pulsation en rad/s et  est le déphasage à l’origine en radian. C’est la fonction utilisée pour l’analyse fréquentielle. Figure 2.9 : fonction harmonique 2.3. Transformation de Laplace 2.3.1. Définition Pour analyser les systèmes asservis en régime perturbé, on s’intéresse à leur comportement dynamique, c’est-à-dire en régime transitoire. Les équations différentielles permettent de décrire ce comportement. Celles qui sont les plus utilisées sont les équations différentielles linéaires à coefficients constants avec comme variable indépendante le temps t. La transformation de Laplace est une technique mathématique permettant de transformer une équation différentielle linéaire à coefficients constants en une équation algébrique ou n’interviennent plus les dérivées. La résolution de ces équations s’en trouve ainsi simplifiée grâce à l’existence de table de transformées de Laplace des fonctions usuelles. On appelle transformée de Laplace d’une fonction f de la variable réelle t (le temps) et on la note L[f(t)], la fonction F de la variable complexe s telle que : L[f(t)] = F(s) =    0 d e ) ( t t f st Lorsque qu'une fonction est connue dans le domaine de Laplace, on peut la transposer dans le domaine du temps grâce à la transformée inverse de Laplace L-1 : L-1 [F(s)] = uploads/Management/ asslin-02-elemtsanalyselsyslincont.pdf