CONCOURS COMMUN INP FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 20
CONCOURS COMMUN INP FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2022 sans corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, A. Begyn, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer, S. Busson, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, R. Gabay, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Leprince, A. Lluel, O. Lopez, J.-P. Logé, Emmanuel Magnin, S. Moinier, P.-L. Morien, S.Mouez, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Rigny, K. Tari, A. Walbron, A. Warin 2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR Dernière mise à jour : le 19/09/21 Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21 Introduction L’épreuve orale de mathématiques du concours commun INP, filière MP, se déroule de la manière suivante : — 25mn de préparation sur table. — 25mn de passage à l’oral. Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : — un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr — un exercice sur 12 points. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les 112 exercices de la banque pour la session 2022 : — 58 exercices d’analyse ( exercice 1 à exercice 58). — 36 exercices d’algèbre (exercice 59 à exercice 94). — 18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112). Dans l’optique d’aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux du CCINP, chaque exercice de la banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d’année scolaire. Cela dit, il ne s’agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour plus de clarté, relevé d’éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d’exercices. Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d’année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.fr si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page. Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document. Remerciements à David DELAUNAY pour l’autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des exercices de l’ancienne banque, diffusés sur son site http://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : • A. Antibi, L. d’Estampes et interrogateurs, Banque d’exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 0701 (2013) 120 exercices. http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 • D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L’équipe des examinateurs de l’oral de mathématiques du CCINP, filière MP. Contact : Valérie BELLECAVE, coordonnatrice des oraux de mathématiques du CCINP, filière MP. vbellecave@gmail.com CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2 Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21 BANQUE ANALYSE EXERCICE 1 analyse 1. On considère deux suites numériques (un)n∈N et (vn)n∈N telles que (vn)n∈N est non nulle à partir d’un certain rang et un ∼ +∞vn. Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang. 2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh 1 n −tan 1 n . EXERCICE 2 analyse On pose f(x) = 3x + 7 (x + 1)2 . 1. Décomposer f(x) en éléments simples. 2. En déduire que f est développable en série entière sur un intervalle du type ]−r, r[ (où r > 0). Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validité D de ce développement en série entière. 3. (a) Soit P anxn une série entière de rayon R > 0. On pose, pour tout x ∈]−R, R[, g(x) = +∞ X n=0 anxn. Exprimer, pour tout entier p, en le prouvant, ap en fonction de g(p)(0). (b) En déduire le développement limité de f à l’ordre 3 au voisinage de 0. EXERCICE 3 analyse 1. On pose g(x) = e2x et h(x) = 1 1 + x. Calculer, pour tout entier naturel k, la dérivée d’ordre k des fonctions g et h sur leurs ensembles de définitions respectifs. 2. On pose f(x) = e2x 1 + x. En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivée nième d’un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel n et pour tout x ∈R\ {−1}, la valeur de f (n)(x). 3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente. EXERCICE 4 analyse 1. Énoncer le théorème des accroissements finis. 2. Soit f : [a, b] − →R et soit x0 ∈]a, b[. On suppose que f est continue sur [a, b] et que f est dérivable sur ]a, x0[ et sur ]x0, b[. Démontrer que, si f ′ admet une limite finie en x0, alors f est dérivable en x0 et f ′(x0) = lim x→x0 f ′(x). 3. Prouver que l’implication : ( f est dérivable en x0) = ⇒(f ′ admet une limite finie en x0) est fausse. Indication : on pourra considérer la fonction g définie par : g(x) = x2 sin 1 x si x ̸= 0 et g(0) = 0. EXERCICE 5 analyse 1. On considère la série de terme général un = 1 n (ln n)α où n ⩾2 et α ∈R. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3 Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21 (a) Cas α ⩽ ⩽ ⩽0 En utilisant une minoration très simple de un, démontrer que la série diverge. (b) Cas α > 0 Étudier la nature de la série. Indication : on pourra utiliser la fonction f définie par f(x) = 1 x(ln x)α . 2. Déterminer la nature de la série X n⩾2 e − 1 + 1 n n e 1 n (ln(n2 + n))2 . EXERCICE 6 analyse Soit (un)n∈N une suite de réels strictement positifs et l un réel positif strictement inférieur à 1. 1. Démontrer que si lim n→+∞ un+1 un = l, alors la série X un converge. Indication : écrire, judicieusement, la définition de lim n→+∞ un+1 un = l, puis majorer, pour n assez grand, un par le terme général d’une suite géométrique. 2. Quelle est la nature de la série X n⩾1 n! nn ? EXERCICE 7 analyse 1. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels positifs. On suppose que (un)n∈N et (vn)n∈N sont non nulles à partir d’un certain rang. Montrer que : un ∼ +∞vn = ⇒ X un et X vn sont de même nature. 2. Étudier la convergence de la série X n⩾2 ((−1)n + i) ln n sin 1 n √n + 3 −1 . Remarque : i désigne le nombre complexe de carré égal à −1. EXERCICE 8 analyse 1. Soit (un)n∈N une suite décroissante positive de limite nulle. (a) Démontrer que la série X (−1)k uk est convergente. Indication : on pourra considérer (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N avec Sn = n X k=0 (−1)k uk. (b) Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série X (−1)k uk. 2. On pose : ∀n ∈N∗, ∀x ∈R, fn(x) = (−1)n e−nx n . (a) Étudier la convergence simple sur R de la série de fonctions X n⩾1 fn. (b) Étudier la convergence uniforme sur [0, +∞[ de la série de fonctions X n⩾1 fn. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4 Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21 EXERCICE 9 analyse 1. Soit X un ensemble, (gn) une suite de fonctions de X dans C et g une fonction de X dans C. Donner la définition de la convergence uniforme sur X de la suite de fonctions (gn) vers la fonction g. 2. On pose fn(x) = n + 2 n + 1e−nx2 cos (√nx). (a) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn). (b) La suite de fonctions (fn) converge-t-elle uniformément sur [0, +∞[ ? (c) Soit a > 0. La suite de fonctions (fn) converge-t-elle uniformément sur [a, +∞[ ? (d) La suite de fonctions (fn) converge-t-elle uniformément sur ]0, +∞[ ? EXERCICE 10 analyse On pose fn (x) = x2 + 1 nex + xe−x n + x . 1. Démontrer que la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur [0, 1]. 2. Calculer lim n→+∞ 1 Z 0 x2 + 1 nex + xe−x n + x dx. EXERCICE 11 analyse 1. Soit X une partie de R, (fn) une suite de fonctions de X dans R convergeant simplement vers une fonction f. On suppose qu’il existe une suite (xn)n∈N d’éléments de X telle que la suite (fn(xn) −f (xn))n∈N ne tende pas vers 0. Démontrer que la suite de fonctions (fn) ne converge pas uniformément vers f sur X. 2. Pour tout x ∈R, on pose fn(x) = sin (nx) 1 + n2x2 . (a) Étudier la uploads/Management/ banque-finale-sans-corr-22.pdf
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- Publié le Jui 24, 2022
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