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Analyse03/A-U :2014-2015 Page 1 Chapitre 01 : Intégrales multiples Introduction

Analyse03/A-U :2014-2015 Page 1 Chapitre 01 : Intégrales multiples Introduction : Les intégrales multiples constituent la généralisation des intégrales dites simples : c'est-à- dire les intégrales d’une fonction d’une seule variable réelle. On s’attache ici à la généralisation à des fonctions dont le nombre de variables est plus important (deux ou trois). Rappelons qu’une fonction réelle , définie sur un intervalle [a,b], est dite Riemann intégrable si on peut l’encadrer entre deux fonctions en escalier ; d’où toute fonction continue est intégrable. L’intégrale de sur , notée , est interprétée comme l’aire comprise entre le graphe de , l’axe (X’oX) et les droites d’équations . En subdivisant en n sous intervalles de même longueur , on définit l’intégrale de sur par I. Intégrales doubles : 1. Principe de l’intégrale double sur un rectangle : Soit la fonction réelle des deux variables x et y, continue sur un rectangle de . Sa représentation est une surface S dans l’espace muni du repère . Analyse03/A-U :2014-2015 Page 2 On partage D en sous-rectangles, dans chaque sous-rectangle on choisit un point M(x,y) et on calcule l’image de (x,y) pour la fonction f. La somme des volumes des colonnes dont la base est des sous-rectangles et la hauteur f(x,y) est une approximation du volume compris entre le plan Z=0 et la surface S. Lorsque le quadrillage devient suffisamment « fin » pour que la diagonale de chaque sous-rectangle tende vers 0, ce volume sera la limite des sommes de Riemann et on le note Exemple : En utilisant la définition, calculer Remarques :  A priori, l’intégrale double est faite pour calculer des volumes, de même que l’intégrale simple était faite pour calculer une aire.  Dans une intégrale double, les bornes en x et y doivent toujours être rangées en ordre croissant. Théorème : Soit D un domaine borné de .Alors toute fonction continue est intégrable au sens de Riemann. Analyse03/A-U :2014-2015 Page 3 2. Propriétés des intégrales doubles :  L’intégrale double sur un domaine D est linéaire :  Si D et D’ sont deux domaines tels que , alors :  Si en tout point de D, avec f non identiquement nulle, alors est strictement positive.  Si .  3. Formules de Fubini : Théorème 01: Soit f une fonction continue sur un rectangle .Nous avons . Nous calculons donc une intégrale double sur un rectangle en calculant deux intégrales simples :  En intégrant d’abord par rapport à x entre a et b ( en laissant y constante). Le résultat est une fonction de y.  En intégrant cette expression de y entre c et d. Alternativement, on peut faire de même en intégrant d’abord en y puis ensuite en x. Exemple 01 : Calcul de D’après Fubini, on a : Dans cette exemple x et y jouent le même rôle. Exemple 02 : Calcul de Calculons Cas particulier : Si et sont deux fonctions continues, alors Exemple : Calculer l’intégrale Analyse03/A-U :2014-2015 Page 4 Théorème 02 : Soit f une fonction continue sur un domaine borné D de . L’intégrale double se calcule par l’une ou l’autre des façons suivantes :  Si l’on peut représenter le domaine D sous la forme alors  Si l’on peut représenter le domaine D sous la forme , alors : Si les deux représentations sont possibles, les deux résultats sont évidemment égaux. Exemple01 : Calculer l’intégrale avec D est le triangle de sommets (0,1), (0,-1) et (1,0). Pour cela on va définir D analytiquement par les inégalités : Exemple02 : Calculer sur le domaine D formé de la réunion de la partie gauche du disque unité et du triangle de sommets (0,-1), (0,1) et (2,1). On a . Analyse03/A-U :2014-2015 Page 5 Exemple03: Calculer l’intégrale . Le domaine est l’intérieur du triangle limité par l’axe des x, la droite x=1 et la droite y=x. Dans ce cas on est obligé a intégrer d’abord par rapport à y puis par rapport à x, car la primitive de la fonction ne s’exprime pas au moyen des fonctions usuelles. D’où . Exemple 04 : Calculer . 4. Changement de variable dans une intégrale double: Nous allons avoir un résultat analogue à celui de l’intégrale simple, où le changement de variable nous demandait de remplacer le « dx » par . C’est le Jacobien qui va jouer le rôle de la dérivée : Rappel : On appelle la matrice jacobienne de la matrice à p lignes et n colonnes : La première colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la première variable , la deuxième colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la deuxième variable et ainsi de suite. Théorème : Soit une bijection de classe du domaine au domaine D. Soit la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne de . Alors, nous avons : Exemple : Calculer sur le domaine En effectuant le changement de variable . Le domaine D en (u,v) est donc le rectangle On a aussi . Le jacobien de ce changement de variables est dont le déterminant vaut . Et donc Analyse03/A-U :2014-2015 Page 6 Remarque :  Si , on obtient  Cela permet d’utiliser les symétries : si par exemple alors . Changement de variable en coordonnées polaires : Soit telle que . Alors est de classe sur , et son jacobien vaut : Et donc Exemple : 1)Calculer en passant en coordonnées polaires où D représente le quart de la partie comprise entre les deux cercles centrés à l’origine et de rayons 1 et 2(anneau). D’où 2)Calculer le volume d’une sphère : et puisque la fonction est paire par rapport aux deux variables ; 5. Applications : a) Calcul d’aire d’un domaine D : On a vu que mesure le volume sous la représentation de f et au dessus de D. On a aussi la possibilité d’utiliser l’intégrale double pour Analyse03/A-U :2014-2015 Page 7 calculer l’aire elle-même du domaine D. Il suffit pour cela de prendre f(x,y)=1. Ainsi, l’aire A du domaine est . Exemple : Calculer l’aire délimitée par l’ellipse d’équation . Notons l’aire de cette ellipse A, donc . Par symétrie et en passant aux coordonnées polaires généralisées : , on obtient b) Calcul d’aire d’une surface : On appelle D la région du plan XOY délimitée par la projection sur le plan XOY de la surface représentative d’une fonction f, notée ∑. L’aire de la surface de ∑ délimitée par sa projection D sur le plan XOY est donnée par Exemple : Calculons l’aire du paraboloïde . Puisque la surface ∑ est égale au graphe de la fonction définie au-dessus du domaine . D’où c) Masse et centres d’inertie : Si on note la densité surfacique d’une plaque , sa masse est donnée par la formule . Et son centre d’inertie est tel que : Exemple : Déterminer le centre de masse d’une fine plaque de métal triangulaire dont les sommets sont en (0,0), (1,0) et (0,2), sachant que sa densité est . d) Le moment d’inertie : Le moment d’inertie d’une masse ponctuelle M par rapport à un axe est défini par , où r est la distance entre la masse et l’axe. On étend cette notion à une plaque de métal qui occupe une région D et dont la densité est donnée par , le moment d’inertie de la plaque par rapport à l’axe (X’OX) est : . De même, le moment d’inertie de la plaque par rapport à l’axe (y’Oy) est : . Il est aussi intéressant de considérer le moment d’inertie par rapport à l’origine : . Analyse03/A-U :2014-2015 Page 8 II. Intégrale triple : Le principe est le même que pour les intégrales doubles, Si est une fonction continue de trois variables sur un domaine D de , on définit comme limite de somme de la forme Remarque : On a les mêmes propriétés algébriques des intégrales doubles : linéarité, … 1. Formules de Fubini :  Sur un parallélépipède : Le théorème de Fubini s’applique de façon assez naturelle quand , on se ramène à calculer trois intégrales simples : Exemple : Calcul de  Sur un domaine quelconque borné : Représentons un domaine D pour établir le traitement de la recherche des bornes d’intégration. Pour un certain x fixé, variant entre ,on découpe dans D une surface . On peut alors représenter dans le plan YOZ, puis le traitement sur se fait comme avec les intégrales doubles : . Bien-sûr, on peut intervertir les rôles de x, y et z. Exemple : Calcul de sur le domaine . Analyse03/A-U :2014-2015 Page 9 2. Changement de variables : Si l’on a une application bijective et de classe du domaine sur le domaine D, définie par . La formule du changement de variables est : en notant la valeur absolue du déterminant du jacobien. a) Calcul en coordonnées cylindriques : En dimension 3, les coordonnées cylindriques sont données par : Le déterminant de la matrice Jacobienne de sera uploads/Management/ chapitre-01integrales-multiples.pdf