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4/26/2021 Chapitre 3 — Le Contrôle Statistique www.unit.eu/cours/Decision_et_pr

4/26/2021 Chapitre 3 — Le Contrôle Statistique www.unit.eu/cours/Decision_et_prevision_statistiques/chapitre3/index.html 1/10 Le Contrôle Statistique Le contrôle de la qualité constitue sans doute le poste le plus important de l'entreprise moderne. Les méthodes de fabrication à la chaîne exigent une parfaite interchangeabilité entre les innombrables pièces fabriquées en série. Un tel résultat ne peut être atteint que si les spécifications imposées sont rigoureusement respectées. A ce premier objectif de qualité s'en ajoute un second qui semble s'opposer au précédent, celui de l'économie. La qualité voudrait qu'on se livre à un examen minutieux de la fabrication ; l'économie exige qu'on réduise au maximum tous les frais, en particulier ceux du contrôle qui peuvent constituer une part très importante du prix de revient. Cela fait apparaître la nécessité de substituer à une inspection à 100% des pièces fabriquées, un contrôle par échantillonnage, ou contrôle statistique qui devient d'ailleurs inévitable lorsqu'on doit procéder à des essais destructifs : résistance des matériaux, par exemple. Il importe, dès lors, de rechercher des modes de contrôle qui permettent à la fois de prélever un nombre de pièces aussi faible que possible, et de déterminer aussi bien que possible la qualité d'un lot. 1 - Distribution D'échantillonnage Population En statistique, on appelle population un ensemble d'éléments caractérisés par un critère permettant de les identifier sans ambiguïté. Chacun des éléments est appelé individu. Ces appellations sont liées aux origines démographiques de la statistique. On parlera, par exemple, de la population des axes usinés sur telle machine-outil pendant telle période, en s'intéressant d'ailleurs, non pas aux individus en tant que tels, mais à une ou plusieurs de leurs caractéristiques. Chacune des caractéristiques sur laquelle on décide de faire porter l'observation est appelée variable (ou caractère). Il importe de faire ici une distinction entre deux types de variables et par conséquent, deux catégories de populations : Populations à caractéristiques qualitatives. Pour des axes, par exemple, on distinguera entre pièces satisfaisantes et pièces défectueuses. On se trouve dans ce cas chaque fois qu'un contrôle s'effectue par calibre, c'est-à-dire que l'on distingue, par exemple, les axes dont le diamètre appartient ou n'appartient pas à un certain intervalle admissible appelé intervalle de tolérance. Populations à caractéristiques quantitatives (ou mesurables). Dans l'exemple des axes, on peut mesurer le diamètre des axes et classer les pièces suivant les valeurs qu'il peut prendre. La notion de population n'est pas toujours très facile à définir avec précision. Si on considère, par exemple, la production journalière d'une machine-outil, on peut, de prime abord, parler de la population des pièces produites ; mais, au cours de la journée, la machine a pu se dérégler, l'ouvrier qui surveille la fabrication a peut-être procédé à un réglage, etc. Il n'est donc pas du tout évident que l'ensemble de la production journalière constitue une population unique et bien homogène. Un autre type de difficulté peut se présenter pour définir la population. Supposons, par exemple, que la variable étudiée soit la résilience de l'acier des lingots d'une certaine coulée. L'individu, c'est-à-dire l'élément sur lequel on effectue la mesure est une éprouvette d'acier découpée et usinée suivant certaines modalités. Pour définir la population, il faut se référer à l'ensemble infini de toutes les éprouvettes susceptibles d'être réalisées dans les mêmes conditions à partir des lingots étudiés. Echantillon Une partie essentielle de la statistique, consiste à porter des jugements sur une population à partir d'échantillons ; c'est ce qu'on appelle l'inférence statistique. Un échantillon est un ensemble d'individus prélevés, suivant un procédé bien défini, dans l'ensemble plus important constitué par la population. Le nombre d'individus prélevés s'appelle la taille de l'échantillon, que nous noterons généralement n. Tous les résultats statistiques établis sur les échantillons impliqueront que ces derniers sont représentatifs de la population dont ils proviennent. C'est le cas s'ils ont été prélevés au hasard, c'est à dire que tous les individus de la population avaient la même probabilité de faire partie de l'échantillon effectivement prélevé. En pratique, l'obtention d'échantillons au hasard présente un certain nombre de difficultés qui peuvent être levées si l'on peut numéroter chacun des individus de la population et qu'on a alors recours à une table de nombres au hasard. Dans toute la suite, nous admettrons que les échantillons sont prélevés de façon non exhaustive ou bien que la taille de la population est suffisamment importante devant celle de l'échantillon pour que l'on puisse se ramener à ce cas. red Caractéristiques Des Échantillons Nous désignerons par la notation x , x ,... , x ,... , x , les valeurs prises par la variable pour chacun des individus constituant l'échantillon, ce qu'on appelle une série d'observations. Les séries d'observations peuvent être caractérisées par un certain nombre de valeurs typiques que nous allons définir. 1. Caractéristiques de tendance centrale Statistiques > Ch.3: Le Contrôle Statistique 1 2 i n Ch.3 Le Contrôle Statistique PDF Vidéo Calculatrice Introduction Distribution D'échantillonnage Population Echantillon Caractéristiques Des Échantillons Distribution D'échantillonnage Distribution De La Moyenne D'un Échantillon Prélevé Dans Une Population Normale Contrôle Statistique Exercices 4/26/2021 Chapitre 3 — Le Contrôle Statistique www.unit.eu/cours/Decision_et_prevision_statistiques/chapitre3/index.html 2/10 On appelle caractéristique de tendance centrale, une fonction des observations dont la valeur est comprise entre les valeurs extrêmes de la série. La plus couramment utilisée est la moyenne arithmétique : m = 1/n ∑ x qui est très facile à calculer et possède d'importantes propriétés théoriques, par ailleurs assez faciles à établir. La moyenne, toutefois, possède l'inconvénient d'être très sensible au retrait ou à l'ajout d'une observation "aberrante" : on dit que c'est une statistique peu robuste. Une caractéristique de tendance centrale plus robuste est la médiane dont les propriétés théoriques, par contre, sont plus compliquées à manipuler que pour la moyenne. Lorsqu'on a classé les observations par ordre de grandeurs croissantes, la médiane est la valeur de l'observation qui se trouve au rang (n+1)/2 , si n est impair. Si n est pair (n = 2p), c'est le milieu de l'intervalle [x , x ]. De façon plus générale, on définit les quantiles. Par exemple les déciles : le premier décile est la valeur telle qu'il y ait 10 % des observations en dessous d'elle, le neuvième décile est la valeur telle qu'il y ait 10 % des observations au dessus d'elle. De même, les quartiles : le premier et le troisième quartiles laissent respectivement 25 % et 75 % des observations en dessous d'eux et la médiane est donc le deuxième quartile. 2. Caractéristiques de dispersion On appelle caractéristique de dispersion, une fonction des observations dont la valeur rend compte du plus ou moins grand étalement des valeurs observées autour de leur tendance centrale. On appelle étendue w d'une série d'observations, l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur de la série : w = x - x dont le principal avantage est la simplicité de calcul, mais qui est, par contre, extrêmement peu robuste. On appelle variance s² d'une série d'observations, la quantité qui est définie par la relation : s² = 1/n ∑ (x -m)² et qui mesure l'écart moyen quadratique entre les observations et leur moyenne. Elle joue un rôle très important dans toute la statistique mathématique. Pour la calculer, on notera l'incontournable relation : s² = 1/n (∑ x ² - 2m ∑ x +n m²) = 1/n ∑ x ² - m² que l'on mémorisera facilement en retenant que : «la variance est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne». La racine carrée s de la variance est appelée l'écart-type : s = √(1/n ∑ (x -m)²) Variance et écart-type sont assez peu robustes. Plus favorable, de ce point de vue, on peut calculer l'écart absolu moyen e des observations à leur moyenne : e = 1/n ∑ |x -m| Enfin, une caractéristique de dispersion extrêmement robuste est la distance interquartile : écart entre le troisième quartile Q 3 et le premier quartile Q : I = Q - Q Distribution D'échantillonnage On appelle population de référence ou modèle, une population définie par une loi de probabilité P(x) pouvant être considérée comme à l'origine des résultats observés, c'est-à-dire telle que la probabilité pour que la variable étudiée prenne une valeur dans un certain intervalle [x, x + h[, pour un individu prélevé au hasard, soit : Prob{x ≤ X < x+h} = P(x+h) - P(x) Cela étant, considérons une population de référence définie par la loi de probabilité d'une certaine variable aléatoire X. Si nous prélevons, au hasard et de façon non exhaustive, un échantillon de taille n, nous observons n valeurs : x , x , ... , x , ... , x dont on peut calculer la moyenne m et la variance s². Mais un autre échantillon de taille n, prélevé au hasard dans la même population, conduirait à d'autres valeurs : x' , x' , ... , x' , ... , x' puis m' et s'² , a priori différentes à cause des fluctuations dues à l'échantillonnage ... Et ainsi de suite, on pourrait répéter ces mesures et ces calculs sur un grand nombre d'échantillons différents. i=1 n uploads/Management/ chapitre-3-le-controle-statistique.pdf