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CHAPITRE I : ANALYSE COMBINATOIRE OBJECTIFS  Reconnaitre les différentes situa

CHAPITRE I : ANALYSE COMBINATOIRE OBJECTIFS  Reconnaitre les différentes situations : permutations, arrangements, combinaisons avec ou sans répétitions  Calculer le nombre de cas possibles dans ces différentes situations I. INTRODUCTION L’analyse combinatoire comprend un ensemble de méthodes qui permettent de déterminer le nombre de tous les résultats possibles d’une expérience particulière. La connaissance de ces méthodes de dénombrement est indispensable au calcul des probabilités qui constitue le fondement de la statistique. Au cours de ce chapitre nous définirons pour commencer la notion de disposition ordonnée et disposition non ordonnée. Ensuite nous étudierons les différentes dispositions à savoir les permutations, les arrangements et les combinaisons. II. DISPOSITIONS Soient deux éléments a et b :  Si (a , b) ≠ (b , a) alors on parle de disposition ordonnée.  Si (a , b) = (b , a) alors on parle de disposition non ordonnée. III. PERMUTATIONS Une permutation est une disposition ordonnée. Le nombre de permutations que l’on peut faire avec n éléments est : Pn = n ! = nx(n-1)x(n-2)x.....…x2x1 Exemple : Le nombre de permutations que l’on peut faire avec trois éléments a, b, c est : P3=3!=3x2x1=6 Ces 6 permutations sont : (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), et (c,b,a). III.1. Permutations avec répétition On considère n objets, parmi lesquels R1 sont semblables entre eux, R2 sont semblables entre eux, …, Rk sont semblables entre eux, avec R1+R2+…+Rk=1. On appelle permutation de n objets avec répétition (R1, R2,…, Rk) toute partition de ces n objets en k parties telles que la ième partie ait Ri éléments (1≤ i ≤ k). Page 1 sur 4 Le nombre de ces permutations des n objets avec répétition (R1, R2,…, Rk) est : Pn (R1,R2,…,Rk)= n! R1!R2!… Rk! Exemple Nombre de permutations possibles avec les lettres du mot ETRENNE. Pn (RE=3, RN=2)= 7! 3!2!=420 III.2. Permutation circulaire n objets peuvent être disposés sur un cercle de (n-1) ! façons différentes, soit le nombre de permutations Pn divisé par le nombre de manières différentes n de choisir la 1ère place. Exemple Le rangement de 4 objets sur une rangée fournit 4 ! = 24 permutations différentes, mais celui de 4 objets sur un cercle fournit seulement (4-1) ! = 3 ! =6 permutations différentes. IV. ARRANGEMENTS Un arrangement de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition ordonnée de p de ces n éléments. On distingue les arrangements avec répétitions et les arrangements sans répétitions. IV.1. Arrangements sans répétitions C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux ne peut figurer qu’une seule fois dans le même arrangement. Le nombre d’arrangements sans répétitions est : An p= n! (n−p)! Exemple : Le nombre d’arrangements sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : A3 2= 3! (3−2)! =6 Ces 6 arrangements sont : (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), et (c,b). IV.2. Arrangements avec répétitions C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux peut figurer plusieurs fois dans le même arrangement. Le nombre d’arrangements avec répétitions est : np Exemple : Le nombre d’arrangements avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : 32 = 9 Page 2 sur 4 Ces 9 arrangements sont : (a,a), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,b), (b,c), (c,b) et (c,c). V. COMBINAISONS Une combinaison de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition non ordonnée de p de ces n éléments. On distingue les combinaisons avec répétitions et les combinaisons sans répétitions. V.1. Combinaisons sans répétitions C’est le nombre de combinaisons que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux ne peut figurer qu’une seule fois dans la même combinaison. Le nombre de combinaisons sans répétitions est : Cn p= n! p!(n−p)! Exemple : Le nombre de combinaisons sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : C3 2= 3! 2!(3−2)! =3 Ces 3 combinaisons sont : (a,b), (a,c), et (b,c). V.2. Combinaisons avec répétitions C’est le nombre de combinaisons que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux peut figurer plusieurs fois dans la même combinaison. Le nombre de combinaisons avec répétitions est : Kn p=Cn+p−1 p =(n+ p−1)! p!(n−1)! Exemple : Le nombre de combinaisons avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : K 3 2=C 3+2−1 2 =(3+2−1)! 2! (3−1)! =6 Ces 6 combinaisons sont : (a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), et (c,c). Page 3 sur 4 EXERCICES D’APPLICATION Exercice 1 De combien de manière peut-on placer 3 dossiers différents dans 15 casiers vides, à raison d’un dossier par casier ? Exercice 2 1. Ecrire tous les arrangements avec répétition d’ordre 2 des trois nombres 1, 2 et 3. 2. Ecrire tous les arrangements avec répétition d’ordre 3 des deux nombres 4 et 5. Exercice 3 On considère un jeu forain où 4 souris, numérotées de 1 à 4, se dirigent vers 5 cases A, B, C, D et E, plusieurs souris pouvant choisir la même case. Sur chaque billet, le joueur inscrit une répartition des souris dans les cases et il gagne lorsque son pronostic se réalise. Combien de billets le jouer doit-il acheter pour être assuré de gagner ? Exercice 4 Afin de tester son sens chromatique, on présente à une personne une série de 5 plaques dont 2 d’une certaine couleur et 3 d’une couleur voisine. Combien de séries différentes peut-ont lui présenter ? Exercice 5 Pour réaliser un débat, on réunit trois personnes que l’on installe autour d’une table ronde. De combien de façons différentes pourra-t-on les placer les unes par rapport aux autres ? Exercice 6 Une entreprise veut engager 4 ingénieurs dans 4 spécialités différentes. Six ingénieurs se présentent. Combien de choix s’offrent au responsable de l’embauche dans les 3 cas suivants : 1. Les 6 ingénieurs sont polyvalents (pouvant occuper tous un des 4 postes). 2. Un seul est polyvalent pour les 4 branches, les 5 autres le sont seulement dans trois branches, les mêmes pour tous les 5. 3. Parmi les 6 ingénieurs, se trouvent 3 hommes et 3 femmes, tous polyvalents. L’équipe recherchée doit comprendre 2 hommes et 2 femmes. Page 4 sur 4 uploads/Management/ chapitre-i 7 .pdf