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Chapitre II : Commande Optimale Réalisé par : Zoheir TIR 39 Partie I : Introduc

Chapitre II : Commande Optimale Réalisé par : Zoheir TIR 39 Partie I : Introduction au contrôle optimal 2.1 Introduction au control moderne La figure 2.1 illustre les trois composants principaux d’un système de contrôle moderne et leurs contributions importants. La théorie de système de contrôle consiste à obtenir ou à formuler la dynamique d’un système en termes d'équations différentielles. La dynamique du système est largement basée sur la fonction lagrangienne. Ensuite, le système est analysé pour vérifier ses performances en déterminant principalement la stabilité du système basant sur la théorie de Lyapunov qui sont bien connues. Enfin, si les performances du système ne sont pas conformes à nos spécifications, nous avons recours à la conception. Dans la théorie du contrôle optimal, la conception est généralement basée sur un indice de performance. Nous remarquons que bien que les concepts tels que la fonction de Lagrange et la fonction V de Lyapunov soient anciens, les techniques utilisant ces concepts sont modernes. Figure 2.1 Composants d'un système de contrôle moderne 2.2 Optimisation L'optimisation est une fonctionnalité très souhaitable dans la vie quotidienne. Nous aimons travailler et utiliser notre temps de manière optimale, utiliser les ressources de manière optimale, etc. Le sujet de l'optimisation est assez général en ce sens qu'il peut être envisagé de différentes manières en fonction de l'approche (algébrique ou géométrique), de l'intérêt (unique ou multiple), de la nature des signaux (déterministe ou stochastique) et du stade. (simple ou multiple) utilisé dans l'optimisation. Ceci est illustré à la figure 2.2. Lorsque nous constatons que le calcul des variations n’est qu’un petit domaine de la grande image du domaine de l’optimisation, il constitue la base de notre étude des systèmes de contrôle optimaux. En outre, l'optimisation peut être classée en optimisation statique et optimisation dynamique. 1. L’optimisation statique concerne le contrôle d’un système dans des conditions stables, c’est-à-dire que les variables système ne changent pas dans le temps. La plante est ensuite décrite par des équations algébriques. Les techniques utilisées sont le calcul ordinaire, les multiplicateurs de Lagrange, la programmation linéaire et non linéaire. 2. L’optimisation dynamique concerne le contrôle optimal des installations dans des conditions dynamiques, c’est-à-dire que les variables du système changent en fonction du temps et que le temps est donc impliqué dans la description du système. Ensuite, le système est décrit par des équations différentielles. Les techniques utilisées sont les techniques de recherche, la Système de contrôle du modem Dynamique du système (La modélisation) L'analyse du système (Performance) Synthèse de système (Conception) H Fonction de Pontryagin (1956) Fonction d'état de Lagrange (1788) V Fonction de Lyapunov (1892) Chapitre II : Commande Optimale Réalisé par : Zoheir TIR 40 programmation dynamique, le calcul variationnel (ou calcul des variations) et le principe de Pontryagin. Figure 2.2 Généralités sur l'Optimisation 2.3 Contrôle optimal L’objectif principal du contrôle optimal est de déterminer les signaux de contrôle qui permettront à un processus de satisfaire à certaines contraintes physiques tout en extrémisant (maximisant ou minimisant) un critère de performance choisi (indice de performance ou fonction de coût). Nous cherchons à trouver le contrôle optimal (* indique la condition optimale) qui conduira le système de l’état initial à l’état final avec quelques contraintes sur les contrôles et les états et en même temps étant donné l'indice de performance . La formulation du problème de contrôle optimal nécessite 1. une description mathématique (ou modèle) du processus à contrôler (généralement sous forme de variable d'état), 2. une spécification de l'indice de performance, et 3. Une déclaration des conditions aux limites et des contraintes physiques sur les états et/ou les contrôles. Optimisation Approche Géométrique Approche Algébrique Intérêt unique Déterministe Intérêt Multiple Théorie des jeux Stochastique Plusieurs étapes Etape unique Programmation dynamique Multiplicateurs Calcul et Lagrange Programmation linéaire et non linéaire Analyse fonctionnelle Calculs Variationnels Chapitre II : Commande Optimale Réalisé par : Zoheir TIR 41 2.3.1 Système Dans un souci d’optimisation, nous décrivons un système physique à l’aide d’un ensemble d’équations différentielles linéaires ou non linéaires. Par exemple, un système linéaire invariant dans le temps est décrit par les relations d'état et de sortie et un système non linéaire. 2.3.2 Indice de performance Des techniques classiques de conception de contrôle ont été appliquées avec succès à des systèmes linéaires, invariants dans le temps, à entrée unique, à sortie unique (SISO). Les critères de performance typiques sont la réponse temporelle du système à l'entrée unitaire ou de la rampe caractérisée par le temps de montée, le temps d'établissement, le dépassement de pic et la précision de l'état d'équilibre; et la réponse en fréquence du système caractérisée par des marges de gain et de phase et une largeur de bande. Dans la théorie du contrôle moderne, le problème du contrôle optimal consiste à trouver un contrôle qui amène le système dynamique à atteindre un objective ou à suivre une variable d'état (ou trajectoire) et en même temps à atteindre un indice de performance pouvant prendre plusieurs formes, comme décrit ci- dessous. 1. Indice de performance du système de contrôle optimal dans le temps: Nous essayons de transférer un système d'un état initial arbitraire à un état final spécifié en un minimum de temps. L’indice de performance (IP) correspondant est 2. Indice de performance du système de contrôle de carburant optimal: considérons un problème de véhicule spatial. Soit la poussée d'un moteur-fusée et supposons que la magnitude de la poussée soit proportionnelle au taux de consommation de carburant. Afin de minimiser les dépenses totales en carburant, nous pouvons formuler l’indice de performance comme suit: Pour plusieurs contrôles, on peut écrire comme où R est un facteur de pondération. 3. Indice de performance du système de contrôle d’énergie minimale: Considérons comme le courant dans la ième boucle d'un réseau électrique. Alors (où est la résistance de boucle) est la puissance totale ou le taux de dépense énergétique total du réseau. Ensuite, pour minimiser l’énergie totale dépensée, nous avons un critère de performance comme ou en général, Chapitre II : Commande Optimale Réalisé par : Zoheir TIR 42 où, est une matrice définie positive et prime indique une transposition ici. De même, on peut penser à la minimisation de l'intégrale de l'erreur au carré d'un système de suivi. Nous avons alors où est la valeur souhaitée, est la valeur réelle et est l’erreur. Ici, est une matrice de pondération, qui peut être positive semi-définie. 4. Indice de performance pour le système de contrôle terminal: Dans un problème de trajectoire terminal, nous souhaitons minimiser l'erreur entre la trajectoire da la position souhaitée Xd(tf) et la trajectoire de la position réelle à la fin de la manœuvre ou à la fin du temps . L'erreur finale (finale) est . En prenant en compte les valeurs positives et négatives des facteurs d’erreur et de pondération, nous structurons la fonction de coût de la manière suivante: qui s'appelle également la fonction de coût terminal. Ici, est une matrice semi-définie positive. 5. Indice de performance du système de contrôle optimal général: En combinant les formulations ci- dessus, nous avons un indice de performance sous forme générale Ou, où, est une matrice définie positive, et et sont des matrices semi-définies positives, respectivement. Notez que les matrices et peuvent varier dans le temps. La forme particulière de l'indice de performance (2.3.8) est appelée forme quadratique (en termes d'états et de contrôles). Les problèmes posés lors du contrôle optimal sont classés en fonction de la structure de l'indice de performance . Si le (2.3.9) contient uniquement la fonction de coût final , on l'appelle le problème de Mayer, si le IP (2.3.9) n'a que le terme de coût intégral , on l’appelle le problème de Lagrange, et le problème est du type Bolza si l’IP contient à la fois le terme de coût final et le terme de coût intégral comme dans (2.3.9). Il existe de nombreuses autres formes de fonctions de coût en fonction de nos spécifications de performance. Cependant, les indices de performance mentionnés ci-dessus (avec des formes quadratiques) conduisent à des résultats très élégants dans des systèmes de contrôle optimaux. 2.3.3 Contraintes Chapitre II : Commande Optimale Réalisé par : Zoheir TIR 43 Les vecteurs de contrôle et d'état ne sont ni contraints ni contraints en fonction de la situation physique. Le problème sans contrainte est moins impliqué et donne des résultats élégants. Des considérations physiques, nous avons souvent les commandes et les états, tels que les courants et les tensions dans un circuit électrique, la vitesse d'un moteur, la poussée d'une fusée, contraint comme où, + et - indiquent les valeurs maximales et minimales que les variables peuvent atteindre. 2.3.4 Déclaration officielle du système de contrôle optimal Énumérons maintenant formellement le problème de contrôle optimal, risquant même de répéter certaines des équations précédentes. Le problème du contrôle optimal consiste à trouver le contrôle optimal (* indique une valeur extrême ou optimale), ce qui cause le système (système) invariant dans le temps linéaire donner la trajectoire qui optimise ou extrémise (minimise ou maximise) un indice de performance ou qui cause le système non linéaire donner l'état qui uploads/Management/ chapitre-ii-commande-optimale-partie-1-fr-pdf.pdf