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Cours : Optimisation et Modélisation des Procédés Département de Génie des Proc

Cours : Optimisation et Modélisation des Procédés Département de Génie des Procédés Université Kasdi Merbah-Ouargla O . B A C H A 2 0 2 1 / 2 0 2 2 Page 1 Chapitre II I .1 Problèmes d’optimisation en génie des procédés On peut citer quelques problèmes d’optimisation disponible par exemple pour un seul variable Diamètre de la pipe, Rapport de reflux et Réacteur / préchauffeur. Par contre pour une optimisation multi-variable on note par exemple: batch reactor/preheater, absorber et Staged compressors. D'un point de vue pratique, On définit la tâche d'optimisation par l’opération de trouver la meilleure solution à ce procédé dans les limites des contraintes. Cette tâche nécessite les éléments suivants:  Fonction objective Une fonction objective fournit une mesure de performance quantitative qui doit être minimisée ou maximisée. Cela peut être le coût, le rendement, le profit, etc. du système.  Maximiser Dans certains problèmes d'optimisation, vous essayez de rendre l'objectif aussi grand que possible. Ces problèmes sont des problèmes de maximisation.  Modèle prédictif Un modèle prédictif est nécessaire pour décrire le comportement du système. Pour le problème d'optimisation, cela se traduit par un ensemble d'équations et d'inégalités que nous appelons contraintes. Ces contraintes comprennent une région réalisable qui définit les limites de performance du système.  Minimiser Dans certains problèmes d'optimisation, vous essayez de rendre l'objectif aussi petit que possible. Ces problèmes sont des problèmes de minimisation.  Contrainte explicite Cours : Optimisation et Modélisation des Procédés Département de Génie des Procédés Université Kasdi Merbah-Ouargla O . B A C H A 2 0 2 1 / 2 0 2 2 Page 2 Les contraintes explicites décrivent les éléments qui vous ont été clairement définis comme objectifs lors de votre processus d'optimisation. Par exemple, les limitations de ressources (matériaux, main-d'œuvre) et de demande sont souvent explicitement mentionnées.  Contrainte implicite Les contraintes implicites font référence aux quantités que vous devez reconnaître sont également des contraintes pour votre processus d'optimisation. Par exemple, pour optimiser les bénéfices d'une entreprise en produisant différentes quantités de biens différents, le nombre d'unités de chaque produit à produire peut être un entier. La quantité produite doit également être non négative. I .2 Approche mathématique de l’optimisation sans contrainte Un problème d’optimisation globale (ou libre) est la recherche du minimum x* d’une fonction objectif F(x) définie sur R. Un problème d'optimisation continue se présente habituellement sous la forme suivante : f(x) min ou max; x R     Les minima locaux et globaux de f sur R sont définis de la manière suivante : Un vecteur 0 x R  est un minimum local de f sur R si : 0 0 x R    tel que 0 0 ( ) ( ), , f x f x x R avec x x     Un vecteur 0 x R  est un minimum global de f sur R si : 0 ( ) ( ), f x f x x R   Les maxima locaux et globaux sont définis de manière similaire. Il découle de cette observation que tout problème de maximisation peut être réduit immédiatement a un problème de minimisation en multipliant la fonction objectif par -1. Cours : Optimisation et Modélisation des Procédés Département de Génie des Procédés Université Kasdi Merbah-Ouargla O . B A C H A 2 0 2 1 / 2 0 2 2 Page 3 Un extremum d’une fonction f(x) est le maximum ou le minimum de la fonction, si f(x) est borné dans un intervalle [a,b] : Si on trouve un point x=x0 tel que f(x0)=y0=Max f(x) sur l’intervalle [a,b], alors on peut dire que x0 est un point stationnaire maximum. Si on trouve un point x=x0 tel que f(x0)=y0=Min f(x) sur l’intervalle [a,b], alors on peut dire que x0 est un point stationnaire minimum. soit x0 un point stationnaire de fonction objectif f : si 0 "( ) 0 f x alors x0 point de minimum local. si 0 "( ) 0 f x alors x0 point de maximum local. 3. si 0 "( ) 0 f x  alors on ne peut pas conclure. I.2.1 Fonction objectif à une seul variable sans contrainte Soit une fonction f(x) pour laquelle le dérivé partiel de 1er ordre existe en tous points. L’évolution de l’optimum s’effectuer comme suit : Condition nécessaire : pour f(a) soit optimum de la fonction f(x) il faut que la dérivée 1er de la fonction pour point stationnaire égale à 0 F’(x=a)=0 Nature des points stationnaires : la nature de l’optimum (max, min) est définit pour l’évaluation de la dérivé second de f(x) au point stationnaire x=a Soit x un point stationnaire de fonction objectif f : Cours : Optimisation et Modélisation des Procédés Département de Génie des Procédés Université Kasdi Merbah-Ouargla O . B A C H A 2 0 2 1 / 2 0 2 2 Page 4 Si "( ) 0 f x alors x0 point de minimum local. Si "( ) 0 f x alors x0 point de maximum local. Si "( ) 0 f x  alors on ne peut pas conclure. I.2.2 Fonction objectif à plusieurs variables sans contrainte La procédure général de résolution pour les fonctions objectif à plusieurs variables sans contraint est comme suivante :  Diviser le domaine de recherche (l’intervalle dans lequel la fonction objectif est définie par une expression mathématique est possède des dérivés premières contenu.  Appliquer la condition nécessaire pour déterminer les points stationnaires de la fonction f’(x)=0  Déterminer la matière des points stationnaires Max, Min pour la vérification de la nature f’’(x)  Faire des comparaisons entre les points stationnaires. uploads/Management/ chapitre-ii-optimisation.pdf