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Communication C1 PAGES 1 – 14 XXXIIe COLLOQUE COPIRELEM DES PROFESSEURS ET DES

Communication C1 PAGES 1 – 14 XXXIIe COLLOQUE COPIRELEM DES PROFESSEURS ET DES FORMATEURS DE MATHÉMATIQUES CHARGÉS DE LA FORMATION DES MAÎTRES LA GESTION D’UNE SITUATION « OUVERTE » EN MATHÉMATIQUES : QUESTIONS D’EXPERIENCE ET DE RAPPORT AU SAVOIR Magali HERSANT Maître de conférences, IUFM des Pays de la Loire CREN magali.hersant@paysdelaloire.iufm.fr Résumé Cette communication qui est issue d’un travail dans le cadre d’une recherche INRP concerne l’enseignement des mathématiques à l’école élémentaire et se situe dans le cadre de la didactique des mathématiques. Son objet est de comparer la gestion effective d’une même situation ouverte par deux enseignants d’expérience inégale : un instituteur maître formateur et un professeur des écoles stagiaire. L’étude comparative s’effectue selon plusieurs axes relatifs à la menée de la séance par les deux enseignants : problème mathématique posé, organisation du travail dans la classe, situation mathématique réellement proposée aux élèves et traitement des propositions des élèves, gestion du tableau. Elle permet finalement de questionner le rôle de l’expérience et celui du rapport au savoir dans l’organisation du débat dans la classe. En mathématiques, à l’école élémentaire, les situations « ouvertes », dont les situations de débat, constituent des lieux privilégiés pour travailler à la fois la résolution de problèmes et les activités langagières. Les programmes actuels incitent d’ailleurs, après les travaux du groupe ERMEL (ERMEL, 1999), à proposer aux élèves des « problèmes pour chercher » qui conduisent entre autres les élèves à exposer et argumenter leur réponse. Mais il est reconnu que la gestion de ces situations encore peu habituelles en classe de mathématiques est relativement difficile, en particulier pour les jeunes enseignants (Douaire et al., 2003). De ce fait, ces situations interrogent la didactique des mathématiques à plusieurs titres. Les questions portent d’abord sur les apprentissages mathématiques des élèves. D’autres questions concernent les pratiques effectives et la formation d’enseignants : comment les professeurs gèrent-ils ces situations en mathématiques ? En quoi leur gestion dépend t-elle de l’expérience d’enseignement du professeur ? Comment former des enseignants à la pratique du débat en classe ? Dans cette communication, nous abordons ces questions à partir de l’étude comparative de deux séances relatives à une même situation « ouverte » en mathématiques au cycle 3. L’une est menée par un instituteur maître formateur et l’autre par un professeur des écoles stagiaire. L’objet de la comparaison est de comprendre comment les deux enseignants gèrent l’avancée de la situation et de questionner le rôle éventuel de leur expérience dans les décisions qu’ils prennent. La situation étudiée et le cadre de l’analyse sont présentés dans la première partie de ce texte. La comparaison du déroulement effectif dans les deux classes à partir de l’analyse de certains épisodes des séances, en termes d’apprentissage des élèves et de gestion du débat dans la classe, fait l’objet de la seconde partie. En conclusion, nous questionnons les pratiques observées au regard des expériences d’enseignement et du rapport aux mathématiques des deux enseignants. M. HERSANT 2 I – LA SITUATION ÉTUDIÉE ET LE CADRE DE L’ANALYSE Nous proposons une analyse didactique qui vise d’une part à comprendre la façon dont les deux professeurs gèrent l’avancée de la situation dans la classe et, d’autre part, à envisager les effets de cette gestion sur l’activité mathématique des élèves et leurs apprentissages. Les références théoriques sont principalement celles de la théorie des situations (Brousseau, 1998), notamment la notion de contrat didactique et de répartition de responsabilité entre le professeur et les élèves dans la construction des savoirs et connaissances dans la classe et celle de milieu (Brousseau, 1996 ; Perrin-Glorian & Hersant, 2003). I – 1 La situation proposée aux élèves Le problème étudié, dit « Des trois nombres qui se suivent », est extrait de ERMEL (ERMEL, 1999) et conçu pour des élèves de cycle 3. Etant donné un nombre entier naturel n quelconque il s’agit de déterminer s’il peut s’écrire comme la somme de trois nombres qui se suivent. L’ensemble des nombres qui vérifient cette propriété mathématique que nous noterons P par la suite est l’ensemble des multiples de trois. I – 1.1 Le déroulement prévu Le problème a été choisi d’un commun accord entre les deux enseignants et le chercheur. La préparation de la situation a aussi été commune. Pour la première séance, l’objectif est que les élèves résolvent le problème pour les nombres 15, 96 et 46, argumentent et débattent à propos des preuves proposées. Les élèves n’auront pas de calculatrice à disposition. Pour les élèves les plus en difficulté lors de la recherche pour 96, il est convenu de proposer le nombre 36. Le déroulement prévu est le suivant. D’abord, poser le problème pour le nombre 15 de façon à s’assurer que les élèves ont bien compris la consigne et en faire une résolution collective, principalement orale. La consigne choisie est « Le nombre 15 peut-il s’écrire comme la somme de trois nombres qui se suivent ? Oui ? Non ? Pourquoi ? ». Ensuite, individuellement et par écrit, les élèves résolvent le problème pour 96 (éventuellement 36), avec une consigne identique. Après la correction de cette question, les élèves cherchent par groupe une solution pour 46 et réalisent une affiche reprenant leur réponse. S’il reste du temps, le professeur demande aux élèves de trouver d’autres nombres « qui marchent » et éventuellement d’émettre une hypothèse sur l’ensemble des nombres (« tous les nombres ») qui vérifient la propriété. Il est plutôt prévu que ces questions fassent l’objet des séances suivantes, conformément à la situation telle qu’elle présentée dans ERMEL. I – 1.2 Analyse a priori de la situation L’objet de cette analyse est double : étudier les procédures de résolution possibles pour les élèves ; déterminer les potentialités adidactiques de la situation et les interventions nécessaires de l’enseignant. La situation de la première séance est composée d’une suite de trois petites situations semblables. Dans les deux premières, les nombres vérifient la propriété P, ce qui n’est pas le cas de la troisième. LA GESTION D’UNE SITUATION « OUVERTE » EN MATHÉMATIQUES 3 Lorsque les nombres vérifient la propriété Raisonnons d’abord sur le cas du nombre 15. Il est assez simple de trouver une décomposition correcte en procédant par essais successifs en partant de la suite 1, 2, 3. Pour résoudre le problème les élèves peuvent : a) Établir une conjecture de type “ oui ” et chercher une décomposition par essais successifs ; b) Chercher une décomposition (par essais successifs) sans véritablement établir de conjecture ; c) Établir une conjecture de type “ non ” et en chercher une preuve. Lors du travail individuel, la validation d’une solution va venir essentiellement du contrôle du respect des contraintes. Les élèves n’ont pas de calculatrice à disposition, des erreurs peuvent donc subsister à ce niveau. Par ailleurs, pour un élève qui s’engagerait dans la procédure c, la seule rétroaction possible de la situation elle-même serait qu’il trouve (par hasard) la décomposition correcte. Cela suppose donc qu’il n’a pas réellement établi de conjecture “ non ”. Lors de la mise en commun, les rétroactions vont par contre pouvoir venir des autres élèves qui peuvent proposer des arguments contre les propositions faites. Il est donc possible que la situation soit résolue avec un minimum d’interventions de l’enseignant. Pour 96, il devient plus laborieux de procéder par essais successifs. Cependant, on peut penser à trouver la suite correspondante en effectuant une division par 3 de 96. Pour traiter ce cas, il devient un peu plus important d’établir une conjecture. I – 1.3 Lorsque les nombres ne vérifient pas la propriété Le cas de 46 est plus compliqué que les précédents, en particulier car la preuve fait appel d’une part au caractère discret de l’ensemble des entiers naturels et d’autre part à la croissance de la fonction somme sur les entiers naturels. Or ces propriétés sont à la fois subtiles, transparentes et intuitives pour les élèves. Cela peut nuire à l’instauration d’un débat dans la classe. En effet, au niveau du cycle 3, les élèves vont pouvoir prouver que 46 ne se décompose pas en la somme de trois nombres consécutifs en indiquant que : • la somme de 14, 15 et 16 vaut 45 ; • celle de 15, 16, 17 vaut 48 ; • 46 est compris entre 45 et 48 et on ne peut pas l’atteindre. La preuve consiste donc non plus à exhiber un triplet correct mais à mettre en relation des arguments pour effectuer, finalement, un raisonnement par l’absurde. Si un élève conjecture que 46 peut se décomposer en la somme de trois nombres consécutifs et produit un triplet qui permet, à son avis, de le montrer, il est assez facile prouver que le triplet ne convient pas car il ne respecte pas une des contraintes. Dans ce cas, les rétroactions peuvent facilement venir soit de l’élève qui contrôle son résultat, soit des autres élèves de la classe. Dans le cas où l’élève fait la conjecture correcte mais produit une preuve erronée, il sera peut être plus difficile pour les autres élèves de uploads/Management/ charalambos-lemonidis-p18-las-matematicas-de-la-naturaleza-y-de-la-vida.pdf