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Deuxieme composition de mathematiques concours d x27 admission 2000

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D ? ADMISSION DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée heures L ? utilisation des calculatrices n ? est pas autorisée pour cette épreuve On attachera la plus grande importance à la clarté à la précision et à la concision de la rédaction Ce problème a pour objet l ? étude de certains cônes dans des espaces euclidiens On désigne par E l ? espace euclidien Rn n ? par son produit scalaire usuel et par la norme associée Pour toute partie X de E on note X ? resp X l ? ensemble des éléments x de E satisfaisant x y resp x y ? pour tout y de X Une partie C de E sera appelée cône à faces s ? il existe une famille ?nie d ? éléments r c cr r de E telle que C soit l ? ensemble des combinaisons linéaires ?ici avec i ? ?r ? On supposera toujours les ci non nuls et on dira qu ? ils engendrent C En ?n on appelle face de C toute partie de C de la forme C ?? w ? avec w ?? C La première partie est indépendante des suivantes Première partie Véri ?er que tout sous-espace vectoriel non nul de E est un cône à faces Supposant n r décrire sans démonstration mais avec des ?gures les ensembles C C et donner sous chaque ?gure la liste des faces de C suivant les diverses positions relatives de c et c Supposant que n r et que c c c est une base orthogonale de E décrire sans démonstration C C et les faces de C CDeuxième partie On se propose dans cette partie de démontrer que tout cône à faces est fermé dans E a Soit K une partie compacte de E ne contenant pas Montrer que l ? ensemble des éléments de la forme ?x o? ? ?? R et x ?? K est fermé dans E b Ce résultat subsiste-t-il si l ? on suppose K seulement fermé ou si K compact contient On considère maintenant un cône à faces C engendré par des éléments c cr a Montrer que C est fermé lorsqu ? il ne contient aucune droite vectorielle On pourra r r introduire l ? ensemble K des éléments ?ici avec ?i ?? R et ?i i i b Soit V un sous-espace vectoriel de E éventuellement réduit à contenu dans C et distinct de C On note P le projecteur orthogonal de E sur V ? Véri ?er que P C est un cône à faces contenu dans C c Supposant que P C contient une droite vectorielle construire un sous- espace vectoriel de E contenu dans C et contenant strictement V d Montrer que C est fermé dans E Troisième partie On se propose ici de démontrer que tout cône à faces C véri ?e C C a Soit a un élément de E Montrer que la fonction réelle dé ?nie sur