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ATELIERS DE MATHEMATIQUES Editions Nathan Enseigner les mathématiques aux cycle

ATELIERS DE MATHEMATIQUES Editions Nathan Enseigner les mathématiques aux cycles 2 et 3 Dieppe, le 4 avril 2012 Daniel Bensimhon (daniel.bensimhon@ac-paris.fr) Constats Les évaluations à l’entrée au collège en mathématiques laissent apparaître deux domaines particuliers de difficultés : - Le calcul mental - La résolution de problème Les comparaisons internationales (PISA/PIRLS) - Des élèves français plus angoissés que les autres face aux mathématiques - Une faiblesse particulière lorsqu’il faut « prendre des initiatives, expérimenter, faire des essais, critiquer, recommencer… » 1 – Les principaux enjeux de l’enseignement des mathématiques à l’école. 1 – Créer une continuité éducative avec le cycle 3 puis le collège - Bénéficier des enseignements au collège : compétences acquises et à mobiliser. - Construire les bases à l’école primaire pour acquérir ces compétences - Les élèves doivent pouvoir mobiliser ces compétences pour : - résoudre des problèmes, - parvenir à abstraire, à raisonner, - à travailler en groupe ou de façon autonome, - à exprimer un résultat A l’école : la séparation progressive des disciplines Cycle 1 : découvrir le monde 1. Découverte sensorielle 2. Exploration du monde de la matière 3. Découvrir le monde animal 4. Découvrir le monde des objets 5. Repérages dans l’espace 6. Le temps qui passe 7. Découverte des formes et des grandeurs 8. Approche des quantités et des nombres La séparation progressive des disciplines – programmes 2008 Cycle 2 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données Cycle 3 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données 2 – Participer à la formation du futur citoyen Former un futur citoyen et favoriser son insertion dans la « vie sociale » Les mathématiques fournissent des outils pour agir, pour choisir, pour décider dans la « vie courante » Les mathématiques, un autre moyen d’expression avec un langage propre : schéma, graphique, figures, etc. Elles représentent donc un autre mode de communication Résultats et données fournis par les mathématiques font l’objet d’un examen critique 3 – Aborder la dimension culturelle des mathématiques Penser des objets abstraits comme les nombres, les figures, débattre du « vrai » et du « faux », c’est commencer à s’approprier des éléments de culture scientifique (surtout dans les activités de résolution de problème et de débats qui y sont liés). Mise en perspective historique de certaines connaissances : numérations romaine ou égyptienne par exemple  enrichissement de cette dimension culturelle 4 – Contribuer à la formation générale des élèves Placer l’élève devant des situations problèmes, une démarche fondamentale en mathématiques  favoriser l’initiative, l’imagination et l’autonomie. Confrontation des résultats : compétences dans le domaine de l’argumentation, considérer d’autres points de vue (décentration)  socialisation, écoute et respect de l’autre (un levier parfois plus fort car ancré dans un besoin de classe) Le statut particulier de la preuve en mathématiques qui s’appuie à la fois sur l’expérience, mais aussi sur des connaissances mathématiques Tracés de figures, réalisation de solides, etc.  développer l’attention et le soin. 5 – Exploiter la pluridisciplinarité des mathématiques Aborder cet axe dès l’école élémentaire. Ce n’est pas un objectif poursuivi systématiquement, mais une certaine cohérence et une vigilance doivent être observées. Voici quelques exemples : - Vécu corporel d’un espace, d’une position relative… (EPS) - Frise chronologique en histoire (placement des nombres sur une ligne graduée) - Cartes et échelles en géographie - Proportionnalité lors de l’utilisation d’un verre doseur. Fraction décimale… 2 – Comment enseigner les mathématiques ? Une démarche, des contenus La démarche d’apprentissage Le degré zéro (environnement non exploité) L’imprégnation La découverte L’institutionnalisation L’application L’extension Un concept visé : la symétrie axiale • Étape zéro : utilisation du miroir • Imprégnation : tampon encreur, papier calque, découpage de ribambelles, frises géométriques • Découverte : classer un ensemble de figures (certaines ont un axe de symétrie) • Institutionnalisation : notion de symétrie axiale • Application : construire le symétrique d’une figure. • Extension : symétries plus complexes (éloignement de l’axe) Les ribambelles Un concept visé : la division euclidienne • Étape zéro : répartitions diverses de collections d’objets pris dans la vie quotidienne • Imprégnation : situations de partage quelconque, plus ou moins complexes, à résoudre pour elles-mêmes • Découverte : situations de partage sous contraintes (parts égales, reste minimal) • Institutionnalisation : la division euclidienne (cycle 3) • Application : situations de division euclidienne • Extension : division avec de grandes quantités – division avec des décimaux Mathématiques et socle commun • Attitudes attendues en mathématiques dans le cadre de l’acquisition du socle commun à l’issue des cycles 2 et 3 – La rigueur et la précision dans les tracés, dans les mesures, dans les calculs – Le goût du raisonnement – Le réflexe de contrôler la vraisemblance des résultats – La volonté de justesse dans l’expression écrite et orale – L’ouverture à la communication, au dialogue, au débat – L’envie de prendre des initiatives, d’anticiper – La curiosité et la créativité – La motivation et la détermination dans la réalisation d’objectifs 3 – La résolution de problèmes La résolution de problèmes Les problèmes ont une place prépondérante dans l’enseignement des mathématiques. Tous les domaines des mathématiques sont concernés La résolution de problèmes Objectifs poursuivis • Viser la maîtrise des connaissances et en assurer l’appropriation • Les mathématiques sont perçues et donc vécues comme des moyens, des outils pour anticiper, prévoir et même décider. • Constituer une base, un socle sur lequel construire les connaissances ultérieures. Les élèves prennent conscience des limites des connaissances dont ils disposent • Passer progressivement d’une solution personnelle à une solution experte • Créer des interactions entre élèves • Développer la confiance en soi ainsi que l’imagination et le désir de recherche Apprendre par la résolution de problèmes • La solution personnelle – Les propres stratégies de l’élève – Une avancée vers l’autonomie de l’élève – Des activités modulées • La solution experte – L’élève ne passe pas spontanément à cette solution – Apprentissage grâce à des situations – Solutions qui permettent d’aborder d’autres solutions personnelles Des problèmes résistants et de vrais problèmes De cette enveloppe qui contient 7 images, on en retire 3. Combien l’enveloppe contient-elle d’images ? On veut partager équitablement 18 billes entre 3 enfants. Combien faut-il donner de billes à chaque enfant ? L’autocar (CE) • Enoncé : Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet. 45 adultes y sont installés. Tous les autres passagers sont des enfants. • Combien y a-t-il d’enfants dans l’autocar ? L’autocar • Calcul expert : deux solutions – Soit le complément de 45 à 60 – Soit la différence entre 60 et 45 • Calcul de l’élève – Envisagé spontanément comme un complément 45 + ….. = 60 – Aider les élèves à reconnaître la soustraction, solution plus experte pour d’autres nombres (un train de 926 places occupé par 389 adultes) Problème : les cartes à jouer CM1/CM2 Problème : les cartes à jouer • Six groupes d’élèves • Trois cartes sont choisies par les groupes d’élèves et mises dans une boîte. • Combien de cartes dans la boîte ?  18 • 60 côtés comptés à partir des cartes choisies • Consigne : Trouver le nombre de cartes portant des carrés et les cartes portant des triangles Problème de recherche : Les cartes à jouer - commentaires • Problème posé pas forcément à partir d’un écrit • Les élèves doivent facilement s’approprier la situation et se représenter la tâche pour s’y engager • Donner un problème de recherche, c’est lancer un défi • L’attitude du maître est aussi décisive que le choix du problème : théâtralité lors de la présentation • Validation le plus possible à la charge des élèves. Problème de recherche Les cartes à jouer - La procédure experte • Ce problème est une équation à deux inconnues • t = nombre de triangles c = nombre de carrés • t + c = 18  c = 18 - t • 3t + 4c = 60  3t + 4(18 – t) = 60  3t + 72 – 4t = 60  -t = 60 – 72  t = 12  c = 6 Soit : 6 carrés et 12 triangles dans la boite La cible CE1/CE2 La cible Objectifs poursuivis : Multiples et compléments • Énoncé : quand on lance une flèche au centre de la cible, on marque 16 points. Dans la couronne on marque 3 points. Alexandre a obtenu 190 points. • Consigne: trouver les quatre façons possibles d’obtenir le score d’Alexandre La cible • Voici la liste des multiples de 16 16 - 32 - 48 - 64 – 80 – 96- 112 – 128 – 144 – 160 - 176 Les compléments à 190 sont 174 - 158 - 142 - 126 - 110 - 94 - 78 - 62 - 46 - 30 - 14 Dans cette liste, les multiples de 3 sont : 174 (58 x 3) 126 (42 x 3) uploads/Management/ conference-mathematiques-cycle-2-et-3-dieppe-avril-12.pdf