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http ://math.univ-lille1.fr/∼mimp/Math12.html Math 12A — Fondements de l’Analys

http ://math.univ-lille1.fr/∼mimp/Math12.html Math 12A — Fondements de l’Analyse 1 — 2011-2012 Devoir num´ ero 1 (Bornes sup et bornes inf) Exercice I. Soit A = {1 + n+1 n : n ∈N∗}. Etudier l’existence de min(A), max(A), inf(A), sup(A). De mˆ eme pour B = [−1, 3[∩(R\Q) ; C = [1, 2[∩Q. Exercice II. Soit A une partie de R, α ∈R. Donner la d´ eﬁnition des ´ enonc´ es suivants en utilisant des quatiﬁcateurs : (a) α est un majorant de A ; (b) α est un minorant de A ; (c) α n’est pas un majorant de A ; (d) α n’est pas un minorant de A ; (e) α est la borne sup de A ; (f) α est la borne inf de A ; (g) α n’est pas la borne sup de A ; (h) α n’est pas la borne inf de A. Corrige. Exercice I. (1) Pour tout n ∈N∗, 1 + n+1 n = 2 + 1 n > 2. Donc 2 est un minorant de A. Soit r > 2. Alors r−2 > 0, il existe un n0 ∈N∗tel que 1 n0 < r−2. Donc 2+ 1 n0 < r. r n’est pas un minorant de A. Donc 2 est le plus grand minorant de A, c’est-` a-dire que inf(A) = 2. Comme 2 ̸∈A, A n’a pas d’´ el´ ement minimum. Pour tout n ∈N∗, n ≥1, 1 + n+1 n = 2 + 1 n ≤3. Or 3 ∈A, donc max(A) = 3 = sup(A). (2) Pour tout x ∈B, x ≥−1, donc −1 est un minorant de B. Pour tout r > −1, il y a un nombre irrationnel b appartenant ` a ] −1, r[. D’o` u b ∈B et b < r, donc r n’est pas un minorant de B. On a inf(B) = −1. Or −1 ̸∈B, B n’a pas d’´ el´ ement minimum. Pour tout x ∈B, x ≤3, donc 3 est un majorant de B. Pour tout r < 3, il y a un nombre irrationnel b′ appartenant ` a ]r, 3[. D’o` u b′ ∈B et b′ > r. Donc r n’est pas un majorant de B. On a sup(B) = 3. Or 3 ̸∈B, B n’a pas d’´ el´ ement maximum. (3) De mˆ eme, on a min(C) = 1 = inf(C), sup(C) = 2, et C n’a pas d’´ el´ ement maximum. Exercice II. (a) ∀x ∈A, x ≤α. (b) ∀x ∈A, x ≥α. (c) ∃x ∈A, x > α. (d) ∃x ∈A, x < α. (e) (∀x ∈A, x ≤α) et (∀ǫ > 0, ∃x ∈A, x > α −ǫ). (f) (∀x ∈A, x ≥α) et (∀ǫ > 0, ∃x ∈A, x < α + ǫ). (g) (∃x ∈A, x > α) ou (∀x ∈A, x ≤α et ∃ǫ > 0, ∀x ∈A, x ≤α −ǫ). (h) (∃x ∈A, x < α) ou (∀x ∈A, x ≥α et ∃ǫ > 0, ∀x ∈A, x ≥α + ǫ). uploads/Management/ corrige-devoir1.pdf