Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Dr KRA Essi K. F. INP-HB Yamoussoukro COURS_2: SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVA

Dr KRA Essi K. F. INP-HB Yamoussoukro COURS_2: SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS CPGE_TECHNOLOGIQUES ii Avant-propos Ce document a été développé pour servir de support au cours de Systèmes Asservis de la licence Électrotechnique de l’Université Ferhat Abbas Sétif 1 et s’adresse principalement aux étudiants de la troisième année. Il détaille notamment la modélisation et l’analyse des systèmes linéaires continus et invariants dans le temps. Ce document n’a pas été conçu pour être autosuffisant. La présence au cours et un complément de travail sont indispensables pour arriver à une maitrise des objectifs visés par le cours. Il vous permettra cependant d’approfondir les aspects qui ne pourront qu’être traités rapidement en cours. Le cours Systèmes Asservis, vise à familiariser l’étudiant avec les propriétés des structures de commande des systèmes linéaires continus et l'analyse temporelle et fréquentielle des systèmes de bases (système de 1er et 2ème ordre). Au terme de ce cours, l'étudiant devrait être capable : - de connaître les définitions et concepts propres aux systèmes linéaires continus. - de se familiariser avec la structure des systèmes de commande (en boucle ouverte et en boucle fermée) et le rôle de chacun des composants dans ces systèmes. - d'être en mesure de déterminer les performances statiques et dynamiques d’un système linéaire continu. - de connaître les techniques classiques de représentation des systèmes linéaires continus: équation différentielle, fonction de transfert, diagramme fonctionnel et graphe de fluence. - d'être en mesure d’analyser les systèmes de bases dans le domaine temporelle et fréquentielle. - d'analyser la stabilité d’un système asservi. Les connaissances préalables souhaitées pour le suivi de ce cours sont : les mathématiques de base (algèbre, calcul intégral et différentiel, nombres complexes, …), les notions fondamentales de traitement du signal et l'électronique de base (circuits linéaires). Table des matières iii Table des matières Chapitre 1 : Introduction aux systèmes asservis 1.1 Définitions……………………………………………………………………... 5 1.2 Notion de Boucle ouverte/Fermée……………………………………………... 7 1.2.1 Commande en boucle ouverte……………………………………………... 7 1.2.2 Commande en boucle fermée...…………………………….………………. 8 1.3 Petit historique...………………………….. …………………………………... 1.4 Régulation et poursuite………………………………………………………… 1.5 Méthodologie………...………………………………………………………… 1.6 Performances d’un asservissement...…………………………………………… 1.6.1 Stabilité…………………………………………………………………….. 1.6.2 Précision……………………..…………………………………………….. 1.6.3 Rapidité…………………...…………………………………………….….. 1.7 Exercices………………..…………………………………………………….... 11 11 12 12 12 12 13 14 Chapitre 2 : Modélisation des systèmes dynamiques linéaires continus 2.1 Modélisation………………………………………………………………..…... 17 2.2 Représentations temporelles…….…………………………………………...….. 17 2.2.1 Représentation par une équation différentielle…………………………...…. 17 2.2.2 Représentation par le modèle d’état……………………………………...….. 19 2.3 Représentation par fonction de transfert……………………………………...…. 21 2.3.1 Transformée de Laplace………………………………………………...…… 2.3.2 Transformée de Laplace inverse par décomposition en éléments simples…… 2.3.3 Fonction de transfert………………... ………………………………...…….. 2.3.4 Passage de la représentation d’état à la fonction de transfert..…………...…... 2.4 Algèbre des diagrammes fonctionnels…..…………………………………..…… 2.5 Représentation par graphe de fluence …………………………….……..………. 2.5.1 Formule de Mason……………………………………………………………. 2.6 Exercices……..…………………………………………………………………… 21 23 24 25 26 27 29 31 Chapitre 3 : Réponses temporelles des systèmes linéaires 3.1 La réponse temporelle……………………………………………………………. 35 3.2 Calcul de la réponse d’un système………………………………………………... 35 3.2.1 Systèmes du premier ordre..…………………………………………………... 35 3.2.2 Systèmes du second ordre…………………………………………………….. 39 3.3 Systèmes d’ordre supérieur …………..…………………………………………... 44 3.4 Exercices…………………………………………………………………...……... Chapitre 4 : Réponses fréquentielles des systèmes linéaires 46 4.1 La réponse fréquentielle….……………………………………………..…………. 4.2 Diagramme de Bode..………………………………………………………...……. 4.2.1 Méthode de tracé du diagramme de Bode………….………………………….. 4.2.2 Cas particuliers…………………………………………………………………. 49 49 50 55 Table des matières iv 4.3 Diagramme de Nyquist…….……………………………………………..…………. 4.4 Marge de phase et marge de gain..………………………………………..…………. 4.5 Exercices…………………………………………………………………...………... 56 58 59 Chapitre 5 : Stabilité et précision des systèmes asservis 5.1 La stabilité des systèmes linéaires continus…………………………………………. 60 5.2 Critère des pôles…………………………………….……………………………….. 60 5.3 Critère de Routh……………………………………………………………………... 62 5.4 Critère graphique du revers………………………………………………………….. 64 5.5 Marges de stabilité…………………………………………………………………… 66 5.6 Précision des systèmes asservis………………………………..…………………….. 67 5.6.1 Précision dynamique…………….………………………………………………. 67 5.6.2 Précision statique…..…………….………………………………………………. 67 5.7 Exercices………..…………………………………………………………………….. 70 Références bibliographiques...……………………………………………………………. 71 Chapitre 1: Introduction aux systèmes asservis Chapitre 1. Introduction aux systèmes asservis Ce chapitre introduit les principales définitions et notions nécessaires à l’étude des systèmes asservis linéaires (objet de ce cours). Nous illustrerons la différence entre la notion de commande en boucle ouverte et de commande en boucle fermée. Nous établirons aussi la distinction entre le fonctionnement en régulation et le fonctionnement en poursuite. Enfin, nous exposerons la procédure à suivre pour la réalisation d’un système de commande [2, 4, 8, 9, 12-16]. 1.1 Définitions : Définition 1.1 : l’automatique est la science qui traite de la modélisation, de l’analyse, de l’identiﬁcation et de la commande des systèmes dynamiques (objets étudiés). Définition 1.2 : un système est un assemblage de composants ou éléments de manière à produire une fonction ou tâche donnée. Il possède un ou plusieurs signaux d’entrée exogène (extérieures au système) et un ou plusieurs signaux de sortie. Un système est dit monovariable si son entrée, ainsi que la sortie considérée sont uniques. Dans les autres cas le système est dit multivariable. Il est courant de représenter un système ou un des éléments le composant à l’aide d’un schéma, dit schéma bloc (ou diagramme fonctionnel). La Figure 1.1 fournit un exemple d’une telle représentation. Système monovariable Système multivariable Figure 1.1 : Schéma fonctionnel (schéma bloc) d’un système systeme en boucle ouverte Chapitre 1: Introduction aux systèmes asservis Les entrées affectant un système sont généralement notées par la lettre u et les sorties par la lettre y. Les entrées d’un système peuvent être modifiées par l’utilisateur (commande) pour obtenir la sortie désirée. Il peut également exister des entrées qui ne peuvent être modifiées par l’utilisateur. Elles sont appelées perturbations et sont notées par la lettre d. Ces dernières troublent le fonctionnement désiré en sortie (Figure 1.2) [17]. . Figure 1.2 : Commandes u et perturbations d Le but de l’automatique est d’exercer des actions pour que la sortie d’un système ait le comportement désirée et ceci en manipulant les variables de commande. Il est important de remarquer que l’automatique est une activité multidisciplinaire. Elle n’est pas limitée à aucune discipline spécifique. Exemple: systèmes mécatroniques (intégration des systèmes mécaniques, électriques, et informatiques). On souhaite donc commander (gouverner ou asservir) des grandeurs physiques issues de systèmes technologiques. Ces grandeurs pourront être mécaniques (force, vitesse, position, couple, ...), électriques (tension, courant, puissance, ...), thermiques (température, ...), hydrauliques (pression, débit, niveau, ...), optiques (éclairement, exposition, ...), chimiques (concentration, ...). Un système est dit continu si entrées et sorties sont continues. Inversement, si en un endroit au moins de la chaîne des éléments le constituant, le signal n’est transmis qu’à des instants discrets privilégiés, le système sera dit discret (ou échantillonné). Ce cours concerne uniquement l’étude des systèmes linéaires, continus, invariants dans le temps et monovariables (systèmes décrits par des équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients constants). Définition 1.3 : un système est causal si la sortie y(t) à un instant t0 ne dépend que des valeurs de son entrée u(t) pour t ≤ t0. Les systèmes physiquement réalisables sont causaux. Définition 1.4 : un système est dit invariant si sa sortie est identique à tout instant (un retard τ ne change pas la sortie du système). Chapitre 1: Introduction aux systèmes asservis Définition 1.5 : si la sortie y(t) à un instant donné ne dépend que de l’entrée u(t) à cet instant (y(t) = a u(t)) alors le système est dit instantané ou statique. Dans tous les autres cas, il est dit, dynamique ou à mémoire. Exemple : y(t) = a u(t-τ). Définition 1.6 : un système est linéaire s’il vérifie le principe de superposition : la sortie y(t) correspondante à la somme de plusieurs entrées u1(t) + u2(t) +…. est égale à la somme y1(t) + y2(t) +…. correspondant à chacune des entrées. Définition 1.7 : on distingue deux régimes dans l’évolution de la sortie des systèmes : - le régime transitoire ou libre représente l’évolution de la sortie y(t) dans les premiers instants de la réponse et qui disparaisse progressivement, - le régime permanent ou forcé correspond à la partie qui subsiste quand le régime transitoire est devenu négligeable. Définition 1.8 : un modèle est un objet mathématique (équations différentielles) reliant le (s) entrée (s) et les sortie (s). 1.2 Notion de Boucle ouverte/Fermée : On distingue en générale deux structures de commande : la commande en boucle ouverte et la commande en boucle fermée appelée également commande à contre-réaction [8, 9; 14, 17]. 1.2.1 Commande en boucle ouverte : Un système de commande est en boucle ouverte lorsqu’aucune mesure de sortie y(t) n’est utilisée (ne comporte pas de contre-réaction) pour élaborer la commande u(t) (Figure 1.3). Cela nécessite la connaissance d’un modèle de fonctionnement du système à commander, par exemple la connaissance d’un modèle de fonctionnement d’un moteur à courant continu permettra de connaître la tension d’entrée qu’il faudra lui appliquer pour obtenir la vitesse de rotation désirée. Figure 1.3 : Commande en boucle ouverte Cette solution est envisageable dans le cas où le système est parfaitement connu et modélisé et dans le cas où l’obtention d’une mesure de la sortie n’est pas économiquement possible. Chapitre 1: Introduction aux systèmes asservis Exemple 1.1 : prenons l’exemple de l'asservissement de la température y(t) d'une pièce chauffée par des radiateurs de chauffage central. Pour agir sur y(t) on fait varier le débit d'eau dans les radiateurs par l'intermédiaire d'une petite vanne. uploads/Management/ cours-2-slci.pdf