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RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUP

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE POLYCOPIÉ DE COURS Éléments d'analyse mathématique Mohamed BOUKELOUA École Nationale Polytechnique de Constantine Abdelhak BERKANE Département de mathématiques Université les Frères Mentouri Constantine Année 2017/2018 Table des matières Introduction 3 1 Intégrales multiples 4 1.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Notions de topologie sur R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Intégrale double sur un domaine fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Intégrale double généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Propriétés de l'intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.7 Quelques applications de l'intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1 Intégrale triple sur un domaine spatial fermé . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Formule de Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.3 Quelques applications de l'intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Analyse vectorielle 32 2.1 Opérateurs diérentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Champs de scalaires et champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.4 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.5 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.6 Potentiels scalaires et potentiels vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.1 Courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.2 Intégrale curviligne d'un champ de scalaires . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.3 Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.4 Circulation et travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.5 Formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.6 Conditions pour qu'une intégrale curviligne ne dépende pas du chemin d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1 2.3 Intégrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1 Surfaces paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.2 Intégrale de surface d'un champ de scalaires . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3.3 Intégrale de surface d'un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3.4 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.5 Formule d'Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 Séries numériques 69 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Séries numériques à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.1 Condition nécessaire et su sante de convergence . . . . . . . . . . . . 72 3.2.2 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.3 Règle de D'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.4 Critère intégral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.5 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.6 Règle d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.1 Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.2 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.3 Critère d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ cours-analyse-3.pdf