Math-Performance Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perform TERMINALE

Math-Performance Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perform TERMINALE S Cours de Mathématiques Math-Performance 2006-2007 1 Math-Performance Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perform TABLE DES MATIERES Chapitre 1 Limites de suite et de fonction page 4 Chapitre 2 Continuité et tableau de variation page 10 Chapitre 3 Dérivation page 12 Chapitre 4 Introduction de la fonction exponentielle page 15 Chapitre 5 Fonctions logarithmes et exponentielles page 18 Chapitre 6 Suite numérique page 21 Chapitre 7 Intégration page 27 Chapitre 8 Intégration et dérivée page 29 Chapitre 9 Equation différentielle page 32 Chapitre 10 Nombres complexes page 33 Chapitre 11 Produit scalaire dans l’espace page 39 Chapitre 12 Droites et plans de l’espace page 42 Chapitre 13 Conditionnement et indépendance page 46 Chapitre 14 Loi de probabilité page 49 2 Math-Performance Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perform Avant propos Vous trouverez dans cet ouvrage édité par Math Performance, le cours complet de Terminale S conforme au programme officiel de l’éducation nationale. Vous pouvez télécharger ou imprimer ce cours pour une utilisation privée ou collective uniquement. 3 Math-Performance Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perform Chapitre 1 Limites de suite et de fonction 1. Limite d’une suite Définition Soit (Un ) une suite de nombres réels.  On dit que (Un ) admet une limite finie L et on note lim n ! + 1 un = L , si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.  On dit que (Un ) admet une limite égale à + 1 et on note lim n ! + 1 un = + 1 , si pour tout réel A, l’intervalle ℄A, + 1 [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.  On dit que (Un ) admet une limite égale à 1 et on note lim n ! + 1 un = 1 , si pour tout réel B, l’intervalle ℄ 1,B [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Exemples  La suite de terme général un = 1 n2 converge vers 0. En effet tout intervalle qui contient zéro, contient aussi l’intervalle ℄ a,a [ avec a > 0 et un 2 ℄ a,a [ ( ) 1 n2 < a ( ) n > r 1 a donc tous les termes de la suite un sont contenus dans l’intervalle ℄ a,a [ à partir du rang n0 vérifiant n0 > r 1 a . Ainsi la suite (un ) converge vers 0.  La suite de terme général un = pn admet une limite égale à + 1 En effet pn  A est équivalent à n  A2. L’intervalle ℄A; + 1 [ contient toutes les valeurs pn à partir du rang n0 vérifiant n0  A2 donc lim n ! + 1 p n = + 1 Propriété Une suite croissante non majorée tend vers l’infini. Démonstration Soit (un ) une suite croissante non majorée et A un nombre positif. (un ) n’est pas majorée alors, il existe p tel que up > A or (un ) est croissante donc pour tout n > p un > up > A. Tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ℄A, + 1 [ à partir du rang p. Ainsi lim n ! + 1 un = + 1 Exemple La suite (n2 ) est croissante et n’est pas majorée, on en déduit alors lim n ! + 1 un = + 1 Théorème des gendarmes Soient (un ), (vn ) et (wn ) trois suites vérifiant à partir d’un certain rang  un 6 vn 6 wn  lim n ! + 1 un = L et lim n ! + 1 wn = L alors lim n ! + 1 vn = L 4 Math-Performance Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perform Exemple Soit un = sin n n , (avec n 6 = 0), on a 1  sin n  1 alors 1 n  sin n n  1 n lim n ! + 1 1 n = 0 et lim n ! + 1 1 n = 0 alors lim n ! + 1 sin n n = 0 2. Limite d’une fonction Définition Soit f une fonction définie sur Df  On dit que la fonction f admet une limite L appartenant à R en a et on note lim x !a f (x ) = L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, f (x ) appartient à U pour x appartenant à D f suffisament proche de a. Il est équivalent d’écrire: Pour tout intervalle ouvert U contenant L, il existe un intervalle I contenant a tel que pour tout x appartenant à I, f (x ) 2 U.  On dit que la fonction f à pour limite L appartenant à R en + 1 et on note lim x ! + 1 f (x ) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f (x ) pour x assez grand. Il est équivalent d’écrire: Pour tout intervalle ouvert U contenant L; il existe A appartenant à Df tel que pour tout x appartenant à ℄A. + 1 [ f (x ) appartient à U  On dit que la fonction f a pour limite + 1 en + 1 et on note lim x ! + 1 f (x ) = + 1 si pour tout réel A l’intervalle ℄A, + 1 [ contient toutes les valeurs de f (x ) pour x assez grand.  On dit que la fonction f a pour limite 1 en + 1 et on note lim x ! + 1 f (x ) = 1 si pour tout réel B l’intervalle ℄ 1,B [ contient toutes les valeurs de f (x ) pour x assez grand. Exemple  Montrer que lim x !1 2x + 3 = 5 j f (x ) 5 j = j2x + 3 5 j = j2x 2 j = 2 jx 1 j, Soit ε > 0 on a j f (x ) 5 j < ε dès que 2 jx 1 j < ε, soit jx 1 j < ε 2 En posant γ = ε 2 alors, pour tout ε > 0 il existe γ > 0 tel que jx 1 j < γ implique j f (x ) 5 j < ε  lim x ! + 1 x2 = + 1, en effet pour tout M > 0, f (x ) > M si x2 > M, si x > p M donc pour tout intervalle I = ℄M; + 1 [ si x > p M alors f (x ) 2 I. Théorème des gendarmes Soient f, g et h trois fonctions vérifiant  g (x ) 6 f (x ) 6 h (x )  lim x !a h (x ) = b lim x !a g (x ) = b alors lim x !a f (x ) = b Exemple  Déterminer la limite de sin (x ) x2 en + 1 Pour tout x 6 = 0 1  sin (x )  1 et donc 1 x2  sin (x ) x2  1 x2 Or lim x ! + 1 1 x2 = 0 et lim x ! + 1 1 x2 = 0. D’après le théorème des gendarmes lim x ! + 1 sin (x ) x2 = 0. 5 Math-Performance Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perform 3. Opération sur les limites On notera FI pour forme indéterminée,  1 représente soit + 1 soit 1 Si f a pour limite l l l + 1 1 + 1 Si g a pour limite l 0 + 1 1 + 1 1 1 Alors f + g a pour limite l + l 0 + 1 1 + 1 1 FI Si f a pour limite l l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + 1 + 1 1 0 Si g a pour limite l 0 + 1 + 1 1 1 + 1 1 1  1 Alors f g a pour limite ll 0 + 1 1 1 + 1 + 1 1 + 1 FI Si f a pour limite l l + 1 + 1 1 1  1 0 Si g a pour limite l 0 6 = 0  1 l 0 > 0 l 0 < 0 l 0 > 0 l 0 < 0  1 0 Alors f g a pour limite l l 0 0 + 1 1 1 + 1 FI FI Attention 0  + 1 6 = 0, il s’agit bien d’une forme indéterminée, par exemple la limite de f (x ) = 1 x  x en + 1 correspond à ce cas mais lim x ! + 1 f (x ) = uploads/Management/ cours-mathematique-terminale.pdf

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• Publié le Mai 04, 2021
• Catégorie Management
• Langue French
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