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Guy Melançon Processus stochastiques - MIAGe / e-MIAGe 10 janvier 2012 Départem

Guy Melançon Processus stochastiques - MIAGe / e-MIAGe 10 janvier 2012 Département informatique UFR Mathématiques Informatique Université Bordeaux I Année académique 2010 - 2011 Table des matières 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Partie I Rappels 2 Calcul et dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Calcul, algèbre et combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Probabilités : propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Indépendance et probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.1 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5 Variables aléatoires, espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1 Distribution de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.4 Somme et produit de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1 Simulation et méthodes Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7 Probabilités et simulation, génération aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.1 Génération aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.2 Méthodes à rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 8 Variable aléatoire réelle, densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1 Densité de probabilité et fonction de répartition . . . . . . . . . . . 61 8.2 Lois continues classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 4 Table des matières 8.2.1 Loi de distribution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.2.2 Loi de distribution non uniforme et fonction de répartition inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.2.3 Méthodes à rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8.2.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8.3 Loi de distribution de Gauss (loi normale) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Partie II Processus stochastiques 9 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10 Calcul matriciel, graphes et chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11 Chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 11.1 Chaîne de Markov à deux états. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 11.1.1 Condition de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 11.2 Fonction de transition et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.3 Distribution stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.3.1 Etats transitoires, récurrents, absorbants . . . . . . . . . . . . 100 11.4 Chaînes de Markov et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.5 Méthodes Monte Carlo et chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . 110 11.5.1 Chaînes de Markov et marche aléatoire uniforme . . . . 111 11.5.2 L’algorithme de Metropolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12 Chaînes de Markov à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 12.1 Condition de Markov et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12.1.1 Backward et forward équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 12.1.2 Système à deux états . . . . . uploads/Management/ cours-proba-miage.pdf