D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES H. Hocquard HSE 2016-2017 Herv´ e Hocquard D´
D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES H. Hocquard HSE 2016-2017 Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 1/36 Probabilit´ es vs Statistiques Exemple introductif Un joueur parie sur le lancer d’un d´ e, s’il a raison il gagne la valeur de la face en euros, sinon il ne gagne rien. Que vaut-il mieux parier ? • Y r´ epondre : faire des probabilit´ es. • Analyser les fr´ equences : faire des statistiques. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 2/36 Notion d’ensemble D´ efinition • Un ensemble est une collection d’objets appel´ es ´ el´ ements. Ensemble des r´ esultats possibles d’un lanc´ e de d´ e : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • F est une partie (ou est inclus, ou est un sous-ensemble) de E si tous les ´ el´ ements de F sont aussi des ´ el´ ements de E. Cela se note F ⊂E. • On note ∅l’ensemble vide : l’ensemble qui ne contient aucun ´ el´ ement. Dans la suite, E, A et B seront trois sous-ensembles d’un ensemble Ω. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 3/36 Notion d’ensemble : l’union D´ efinition L’ensemble de tous les ´ el´ ements qui appartiennent ` a A ou B ou aux deux est appel´ e union de A et B, not´ e A ∪B. A B A ∪B A ∪B = x ∈E | x ∈A ou x ∈B Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 4/36 Notion d’ensemble : l’intersection D´ efinition L’ensemble de tous les ´ el´ ements qui appartiennent ` a la fois ` a A et ` a B est appel´ e intersection de A et B, not´ e A ∩B. A B A ∩B A ∩B = x ∈E | x ∈A et x ∈B Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 5/36 Notion d’ensemble : la diff´ erence D´ efinition L’ensemble de tous les ´ el´ ements de A qui n’appartiennent pas ` a B est appel´ e diff´ erence de A et B, not´ e A −B ou A \ B. A B A −B A −B = x ∈E | x ∈A et x / ∈B Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 6/36 Notion d’ensemble : l’incompatibilit´ e D´ efinition Deux ensembles A et B sont disjoints ou incompatibles s’ils n’ont aucun ´ el´ ement en commun. A B A ∩B = ∅ Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 7/36 Notion d’ensemble : le compl´ ementaire D´ efinition L’ensemble de tous les ´ el´ ements de E qui n’appartiennent pas ` a A est le compl´ ementaire de A dans E not´ e ¯ A, alors A ∩¯ A = ∅et A ∪¯ A = E. A B E ∁EA ∁EA = x ∈E | x / ∈A Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 8/36 Notion d’ensemble : le produit cart´ esien D´ efinition L’ensemble de tous les couples d’un ´ el´ ement de E1 et d’un ´ el´ ement de E2 est appel´ e produit cart´ esien de E1 et E2, not´ e E1 × E2. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 9/36 Notion d’ensemble : le produit cart´ esien D´ efinition L’ensemble de tous les couples d’un ´ el´ ement de E1 et d’un ´ el´ ement de E2 est appel´ e produit cart´ esien de E1 et E2, not´ e E1 × E2. Exemple Attention car E1 × E2 ̸= E2 × E1 comme on peut le voir dans l’exemple suivant : {1, 2} × {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} {3, 4} × {1, 2} = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)} Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 9/36 D´ enombrement D´ efinition Le nombre d’´ el´ ements d’un ensemble E est appel´ e cardinal de E, not´ e Card(E) ou |E|. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 10/36 D´ enombrement D´ efinition Le nombre d’´ el´ ements d’un ensemble E est appel´ e cardinal de E, not´ e Card(E) ou |E|. Exemple Si A = {1; 2; 3; a; b; c} alors Card(A) = 6. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 10/36 D´ enombrement : Formules g´ en´ erales Proposition Soient E1 et E2 deux ensembles finis. Card(E1 ∪E2) = Card(E1) + Card(E2) −Card(E1 ∩E2) Card(E1 × E2) = Card(E1) ∗Card(E2) Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 11/36 D´ enombrement : Principe fondamental Proposition Supposons qu’il faille r´ ealiser deux exp´ eriences. Si l’exp´ erience 1 peut produire l’un quelconque de m r´ esultats et si, pour chacun d’entre eux, il y a n r´ esultats possibles pour l’exp´ erience 2, alors il existe m × n r´ esultats pour les deux exp´ eriences prises ensemble. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 12/36 D´ enombrement : Principe fondamental Proposition Supposons qu’il faille r´ ealiser deux exp´ eriences. Si l’exp´ erience 1 peut produire l’un quelconque de m r´ esultats et si, pour chacun d’entre eux, il y a n r´ esultats possibles pour l’exp´ erience 2, alors il existe m × n r´ esultats pour les deux exp´ eriences prises ensemble. Remarque Ce principe se g´ en´ eralise facilement ` a plusieurs exp´ eriences. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 12/36 D´ enombrement : Principe fondamental Proposition Supposons qu’il faille r´ ealiser deux exp´ eriences. Si l’exp´ erience 1 peut produire l’un quelconque de m r´ esultats et si, pour chacun d’entre eux, il y a n r´ esultats possibles pour l’exp´ erience 2, alors il existe m × n r´ esultats pour les deux exp´ eriences prises ensemble. Remarque Ce principe se g´ en´ eralise facilement ` a plusieurs exp´ eriences. Exercice Une petite communaut´ e se compose de dix hommes et de leurs fils, chaque homme ayant trois fils. Si un homme et l’un de ses fils doivent ˆ etre d´ esign´ es ”p` ere et fils exemplaires”, combien y a-t-il de choix diff´ erents possibles ? Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 12/36 D´ enombrement : probl` eme de placement Probl´ ematique On souhaite r´ epondre ` a la question suivante : combien y a-t-il de fac ¸ons de construire un ensemble de p ´ el´ ements pris dans un ensemble de n ´ el´ ements. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 13/36 D´ enombrement : probl` eme de placement Probl´ ematique On souhaite r´ epondre ` a la question suivante : combien y a-t-il de fac ¸ons de construire un ensemble de p ´ el´ ements pris dans un ensemble de n ´ el´ ements. Ce nombre est diff´ erent selon que l’on autorise ou non les r´ ep´ etitions (prendre plusieurs fois le mˆ eme ´ el´ ement) et que l’on tienne compte ou pas de l’ordre des ´ el´ ements. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 13/36 D´ enombrement : probl` eme de placement Probl´ ematique On souhaite r´ epondre ` a la question suivante : combien y a-t-il de fac ¸ons de construire un ensemble de p ´ el´ ements pris dans un ensemble de n ´ el´ ements. Ce nombre est diff´ erent selon que l’on autorise ou non les r´ ep´ etitions (prendre plusieurs fois le mˆ eme ´ el´ ement) et que l’on tienne compte ou pas de l’ordre des ´ el´ ements. Il y a quatre possibilit´ es classiques et un cas particulier. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 13/36 D´ enombrement : les p-listes Nombre de tirages avec remise et avec ordre • Dans une urne ` a n boules, on tire p boules avec remise et avec ordre. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 14/36 D´ enombrement : les p-listes Nombre de tirages avec remise et avec ordre • Dans une urne ` a n boules, on tire p boules avec remise et avec ordre. • Le nombre de tirages diff´ erents est alors np. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 14/36 D´ enombrement : les p-listes Nombre de tirages avec remise et avec ordre • Dans une urne ` a n boules, on tire p boules avec remise et avec ordre. • Le nombre de tirages diff´ erents est alors np. Exemple Si E = {a, b, c, d, e}, alors il y a 53 = 125 mots de 3 lettres. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 14/36 D´ enombrement : les arrangements Nombre de tirages sans remise et avec ordre Soient E un ensemble fini ` a n ´ el´ ements et p un entier v´ erifiant 0 ≤p ≤n. • Dans une urne ` a n boules, on tire p boules sans remise et avec ordre. Herv´ e Hocquard D´ ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ ES 15/36 D´ enombrement : les arrangements Nombre de tirages sans remise et avec ordre Soient E un ensemble fini ` a n ´ el´ ements et uploads/Management/ denombrement-proba-1617.pdf
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- Publié le Apv 22, 2021
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