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Dérivée directionnelle Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à :

Dérivée directionnelle Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à : Navigation, rechercher En analyse mathématique, la notion de dérivée directionnelle permet de quantifier la variation locale d'une fonction dépendant de plusieurs variables, en un point donné et le long d'une direction donnée dans l'espace de ces variables. Dans la version la plus simple, la dérivée directionnelle généralise la notion de dérivées partielles, dans le sens où l'on retrouve ces dernières en prenant comme directions de dérivation les axes de coordonnées. Le concept de dérivée directionnelle est fondamental en analyse. Il est parfois le point de départ pour définir la dérivée d'une fonction, qui décrit comment sa valeur est modifiée lorsque ses arguments varient de manière infinitésimale mais arbitrairement (et non plus le long d'une direction préfixée) : la dérivée au sens de Gâteaux est définie de cette manière, mais aussi le sous-différentiel d'une fonction convexe et le sous-différentiel de Clarke d'une fonction lipschitzienne. C'est aussi un concept précieux pour obtenir des conditions nécessaires d'optimalité en optimisation. On comprend alors pourquoi, l'on a introduit de multiples de notions de dérivée directionnelle, qui sont plus ou moins bien adaptées à la régularité (i.e., au caractère lisse) de la fonction étudiée et dont l'utilité et le domaine d'application dépendent de leurs propriétés. Les développements sont très raffinés et se poursuivent ; l'étude des liens entre eux mériterait une monographie. Nous nous contenterons ici de donner les principales définitions en commençant par les plus familières et les plus simples. Sommaire [masquer]  1 Fonction définie sur un espace vectoriel o 1.1 Dérivée partielle suivant un vecteur  1.1.1 Définition  1.1.2 Cas d'une fonction différentiable  1.1.3 Interprétation géométrique o 1.2 Dérivée directionnelle au sens de Dini  1.2.1 Définition  1.2.2 Gâteaux différentiabilité  1.2.3 Fonction ayant des valeurs infinies o 1.3 Dérivée directionnelle au sens de Hadamard o 1.4 Dérivée directionnelle au sens de Clarke  1.4.1 Définition  1.4.2 Différentiabilité stricte  2 Fonction définie sur une variété o 2.1 Définition o 2.2 Extension : dérivée de Lie  3 Annexes o 3.1 Notes o 3.2 Articles connexes Fonction définie sur un espace vectoriel[modifier] Dérivée partielle suivant un vecteur[modifier] Définition[modifier] On donnera la qualification de points aux éléments de U et de vecteurs aux éléments de E, les raisons en seront détaillées au-dessous. Soient E un espace vectoriel normé, U un ouvert de E, f une fonction définie sur U à valeurs dans un espace vectoriel normé F (ou plus généralement, un espace vectoriel topologique séparé), u un point de U et h un vecteur de E. La dérivée de f au point u suivant le vecteur h est, si elle existe, la dérivée en 0 de la fonction de la variable réelle : . Si h est le vecteur nul, cette dérivée directionnelle existe toujours et a une valeur nulle. On pourra supposer que h n'est pas le vecteur nul dans ce qui suit. Lorsque l'espace E est de dimension finie n et muni d'une base, la fonction f peut être vue comme une fonction de n variables réelles, et le calcul des dérivées directionnelles suivant les vecteurs de base correspond au calcul des dérivées partielles de f : Si on remplace h par un vecteur colinéaire αh, le calcul de dérivée est identique à la multiplication par le facteur α près : Ainsi, lorsqu'existe en un point une dérivée suivant un vecteur, il en existe une suivant tout vecteur de même direction, mais la valeur de cette dérivée directionnelle dépend du choix du vecteur. On parlera de dérivée directionnelle de f au point u dans la direction de h lorsque le vecteur h est unitaire[1]. En revanche il n'y a pas de raison a priori d'observer un résultat particulier lorsqu'on somme deux vecteurs h et h' . Cas d'une fonction différentiable[modifier] Si la fonction f est différentiable au point u, alors elle admet des dérivées en ce point dans la direction de tout vecteur. Cette dérivée se calcule à partir de l'application différentielle en u (notée df(u)) par application de la formule Et cette fois, notamment, on observe que le résultat est linéaire en h. Notamment Enfin si E est un espace vectoriel de dimension finie n muni d'une base, il est possible de calculer toutes les dérivées directionnelles en termes de dérivées partielles . En général, la réciproque est fausse : le fait qu'une application présente des dérivées en u dans toutes les directions n'assure pas sa différentiabilité, ni même sa continuité. Cependant, la réciproque est vraie si la fonction est définie sur un espace vectoriel de dimension finie n, est à valeurs réelles et est convexe : il suffit qu'elle ait des dérivées partielles suivant n vecteurs linéairement indépendants pour qu'elle soit différentiable (au sens de Fréchet). Si E est un espace vectoriel euclidien et f une application différentiable à valeurs réelles, il est possible d'utiliser le gradient de f pour exprimer la dérivée directionnelle Lorsque f présente un extremum local en un point u d'un ouvert, le gradient est nul en ce point (pour une étude plus détaillée voir point critique), ainsi que toutes les dérivées directionnelles. Interprétation géométrique[modifier] La dérivée de la fonction f au point u dans la direction du vecteur h se calcule comme la dérivée en 0 de la fonction d'une seule variable réelle g(t)=f(u+th). Cette dernière s'interprète comme la fonction f lue le long de la droite passant par u et dirigée par h. L'angle α entre la tangente en A' et l'horizontale sera maximal si le plan de coupe contient la direction du gradient en A Si l'on associe à la fonction la surface (S) d'équation cartésienne z=f(x,y), la notion de dérivée dans la direction d'un vecteur unitaire en un point de U peut être interprétée ainsi : le plan vertical contenant la droite horizontale passant par A et dirigée par h coupe la surface (S) selon la courbe paramétrée (C) : La fonction M est dérivable en 0 si et seulement si f admet en A une dérivée dans la direction de h ; dans ce cas, il existe une tangente au point - qui est le point de (S) à la verticale de A - et est la composante verticale du vecteur directeur de cette tangente. Si f est différentiable en A, l'inégalité de Cauchy-Schwarz permet d'écrire (avec toujours h unitaire) avec égalité si (et seulement si) h est colinéaire au gradient de f en A. La pente de la tangente est donc maximale en choisissant la direction du gradient, ce qui est à la base des méthodes de descente dans les problèmes de minimisation [2] . Dérivée directionnelle au sens de Dini[modifier] Définition[modifier] Soient un espace vectoriel, un espace vectoriel normé et une fonction. On dit que f est directionnellement dérivable au sens de Dini en dans la direction si la limite dans la définition de ci-dessous existe dans : La notation signifie que t tend vers zéro par des valeurs strictement positives. Gâteaux différentiabilité[modifier] Soient et deux espaces vectoriels normés et une fonction. On dit que f est Gâteaux [3] différentiable en si 1. la dérivée directionnelle existe quel que soit , 2. l'application est linéaire continue. On dit que f est continûment Gâteaux différentiable en si f est Gâteaux différentiable dans un voisinage V de x et est continue en x ; on a noté l'ensemble des opérateurs linéaires continus de dans , muni de sa norme canonique. Fonction ayant des valeurs infinies[modifier] En analyse convexe ou non lisse, on utilise une notion de dérivée directionnelle, qui est essentiellement celle de Dini, mais qui accepte que les fonctions prennent leurs valeurs dans la droite réelle achevée . Les dérivées directionnelles peuvent elles-mêmes prendre leurs valeurs dans . Voici cette définition. Soient un espace vectoriel et une fonction. On dit que f est directionnellement dérivable en dans la direction si la limite dans la définition de f'(x;d) ci- dessous existe dans : Cette définition est motivée par le résultat suivant qui assure la dérivabilité directionnelle des fonctions convexes, dans toutes les directions. On y a noté  ,  le domaine (effectif) de f,  l'enveloppe affine d'une partie ,  l'intérieur relatif d'une partie . Dérivée directionnelle d'une fonction convexe — Soient un espace vectoriel, une fonction convexe, un point tel que f(x) est fini et . Alors 1. la fonction est croissante ; 2. f'(x;d) existe dans (elle vaut éventuellement ou ) ; 3. f'(x;d) vaut si et seulement si pour tout t > 0 ; 4. ; en particulier, si l'une des deux dérivées directionnelles f'(x;d) ou f'(x; − d) vaut l'autre vaut ; 5. la fonction est sous-linéaire (en particulier convexe) ; 6. si , alors o le domaine de δx est le sous-espace vectoriel de parallèle à , o si, de plus, est un espace vectoriel normé, la fonction δx est lipschitzienne sur . 7. Ce résultat est utilisé pour définir le sous-différentiel d'une fonction convexe. 8. Dérivée directionnelle au sens de Hadamard[modifier] 9. Soient un espace vectoriel, un espace uploads/Management/ derivee-directionnelle.pdf