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Exercice1 : (3points) Donner la réponse correcte. 1) lim ୶ → π ల ୱ୧୬ (ଶ୶ − π య)

Exercice1 : (3points) Donner la réponse correcte. 1) lim ୶ → π ల ୱ୧୬ (ଶ୶ − π య) ୶ − π ల =: a) 0 ; b) 1 ; c) 2 2) 703 est un nombre : a) composé ; b) premier 3) Soit ݊ un entier naturel alors le nombre ݊+ 2 est premier avec : a) 2݊+ ݊² ; b) ݊+ 3 ; c) 2݊+ 4 Exercice2: (5points) On considère la fonction définie sur ℝ par : ݂(ݔ) = ܿ݋ݏ²ݔ−ܿ݋ݏݔ 1) a) Vérifier que f est périodique de période 2ߨ b) Montrer qu’il suffit d’étudier f sur [0, ߨ]. c) Résoudre dans [0, ߨ] l’équation݂(ݔ) = 0. 2) a) Dresser le tableau de variation de f sur[0, ߨ]. b) Tracer (ܥ௙) courbe représentative de la restriction de f sur [−ߨ, ߨ]. 3) Soit g la fonction définie par ݃(ݔ) = ݏ݅݊²ݔ−ݏ݅݊ݔ En utilisant la courbe de f, tracer la courbe de g (expliquer). Exercice3: (4points) Soit ݊ un entier naturel 1) a) Vérifier que (݊−1)(1 + ݊+ ݊² + ݊ଷ) = ݊ସ−1 b) En déduire que 2ଵଶ−1 est divisible par 7. 2) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul ݊ ; 2ଷ௡−1 est divisible par 7. b) En déduire 2ଷ௡ାଵ−2 ݁ݐ 2ଷ௡ାଶ−4 sont divisibles par 7. c) Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 des nombres suivants. 2ଷ଴଴଴; 2ସ଴ଵହ; 2ଵ଴ଶହ଴ Lycée Thelepte A.S :2009-2010 Devoir de contrôle n°3 Epreuve : Mathématiques Durée : 3 heures Section : 3ème math Enseg : H.Salem Exercice4: (3points) On lance un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Soient les deux événements suivants : A : « Obtenir un multiple de 3 » ; B : « Obtenir un nombre supérieure ou égale à 3 » Soit ݌௜ ݁ݏݐ ݈ܽ ݌ݎ݋ܾܾ݈ܽ݅݅ݐé ݀′ܽ݌݌ܽݎ݅ݐ݅݋݊ ݀݁ ݈ܽ ݂ܽܿ݁ ݅ On suppose que ݌ଷ= 3݌଺ , ݌ଵ= ݌ଶ= ݌ସ= ݌ହ= ܽ et ݌(ܣ) = ܾ. 1) Déterminer a et b sachant que ݌(ܤ) = ଷ ସ. 2) En déduire la probabilité d’avoir un nombre impair. Exercice5: (5points) Une urne contient ૞ boules blanches et ૝ rouges indiscernables au toucher. I) On tire au hasard et successivement ૜ boules de l’urne en remettant chaque fois la boule tirée dans l’urne. Calculer la probabilité des événements suivants : A « Obtenir exactement deux boules blanches » B « Obtenir trois boules de même couleur » D « Obtenir au moins une boule rouge » II) L’épreuve consiste maintenant à effectuer ࢔ tirages successifs en remettant la boule tirée dans l’urne si elle est rouge, on le remettant pas si elle est blanche. 1) Dans cette question on prend ࢔= 3. Soit ܧ௞ l’événement“ seule la k ème boule tirée est blanche” a) Montrer que ݌(ܧଵ) = ହ ଷ଺ et calculer ݌(ܧଶ) et ݌(ܧଷ). b) Qu’elle est la probabilité d’obtenir une seule boule blanche. 2) Déterminer en fonction de ݊, la probabilité ࢖࢔ de tirer au moins une boule blanche en ࢔ tirages. BON TRAVAIL Correction ࡱ࢞ࢋ࢘ࢉ࢏ࢉࢋ૚ 1) lim୶→ π ల ୱ୧୬ቀଶ୶ – π యቁ ୶ – π ల ݁ݏݐ ݈ܽ ݀éݎ݅ݒé݁ ݀݁ ݈ܽ ݂݋݊ܿݐ݅݋݊ ݔ: →sinቀ2x – π 3ቁ en π 6 ⇒lim ୶→ π ଺ sin (2x − π 3) x − π 6 = 2 cos ቀ2 × π 6 − π 3ቁ= 2 2) 703 est un nombre composé car 703 = 19 × 37. 3) Si n est un entier naturel alors le nombre ݊+ 2 est premier avec n+3. ࡱ࢞ࢋ࢘ࢉ࢏ࢉࢋ૛ 1) a) ∀ ݔ∈ܫܴ; ݔ+ 2ߨ ∈ܫܴ ݁ݐ ݂(ݔ+ 2ߨ) = cos ²(ݔ+ 2ߨ) −ܿ݋ݏ(ݔ+ 2ߨ) = ܿ݋ݏ²ݔ−ܿ݋ݏݔ= ݂(ݔ). b) f est paire, en effet ; ∀ ݔ∈ܫܴ; −ݔ∈ܫܴ ݁ݐ ݂(−ݔ) = cos ²(−ݔ) −ܿ݋ݏ(−ݔ) = ܿ݋ݏ²ݔ− ܿ݋ݏݔ= ݂(ݔ), et comme f est périodique de période 2ߨ donc il suffit d’étudier f sur [0, ߨ]. c) ݂(ݔ) = 0 ⇔ܿ݋ݏ²ݔ−ܿ݋ݏݔ= 0 ⇔ܿ݋ݏݔ(ܿ݋ݏݔ−1) = 0 ⇔ܿ݋ݏݔ= 0 ݋ݑ ܿ݋ݏݔ= 1 ⇔ ݔ= గ ଶ ݋ݑ ݔ= ߨ⇔ ܵ[଴,గ] = {0, గ ଶ}. 2) a) f est dérivable sur IR et ∀ x ∈ IR ;݂ᇱ(ݔ) = −2ݏ݅݊ݔ ܿ݋ݏݔ+ ݏ݅݊ݔ= ݏ݅݊ݔ(1 −2ܿ݋ݏݔ). ݂ᇱ(ݔ) = 0 ⇔ ݏ݅݊ݔ= 0 ݋ݑ ܿ݋ݏݔ= ଵ ଶ⇔ݔ= 0 ݋ݑ ݔ= ߨ ݋ݑ ݔ= గ ଷ. c) On a :∀ ݔ∈ܫܴ ;ܿ݋ݏቀగ ଶ−ݔቁ= ܿ݋ݏቀݔ− గ ଶቁ= ݏ݅݊ݔ et, donc ݃(ݔ) = ܿ݋ݏ² ቀݔ−ߨ 2ቁ−ܿ݋ݏቀݔ−ߨ 2ቁ = ݂ቀݔ− గ ଶቁ Ainsi la courbe représentative de g est déduite à partir de celle de f par une translation du vecteur గ ଶଓ ⃗. ࡱ࢞ࢋ࢘ࢉ࢏ࢉࢋ૜ 1) a) (݊−1)(1 + ݊+ ݊² + ݊ଷ) = ݊+ ݊² + ݊ଷ+ ݊ସ−1 −݊−݊² −݊ଷ= ݊ସ−1. b) On prend n = 23, on obtient : (2ଷ−1)(1 + 2 + 2ଶ+ 2ଷ) = (2ଷ)ସ−1 ⇔7 × (1 + 2 + 2ଶ+ 2ଷ) = 2ଵଶ−1. ࢞ 0 ࣊ ࢙࢏࢔࢞ + + ૛ࢉ࢕࢙࢞−૚ -- + ࢌ ’(࢞) -- + ࢌ ߨ 3 − 1 4 D’où 2ଵଶ−1 est divisible par 7. 2) a) Montrons par récurrence que ∀ ݊∈ℕ; 2ଷ௡−1 est divisible par 7. Pour n =1 : 2ଷ×ଵ−1 = 7: Divisible par 7. Supposons que 2ଷ௡−1 est divisible par 7 et montrons que 2ଷ(௡ାଵ) −1 est divisible par 7. 2ଷ(௡ାଵ) −1 = 2ଷ௡+ 2ଷ−1 = 2ଷ௡× 8 −1 = 2ଷ௡(7 + 1) −1 = 7 × 2ଷ௡ + 2ଷ௡−1 divisible par 7 divisible par 7 b) 23݊+1 −2 = 23݊× 2 −2 = 2(23݊−1) qui est divisible par 7. 2ଷ௡ାଶ−4 = 2ଷ௡× 4 −4 = 4(2ଷ௡−1) qui est divisible par 7. c) 2ଷ଴଴଴= 2ଷ×ଵ଴଴଴= (2ଷ×ଵ଴଴଴−1) + 1 d’où le reste de la division euclidienne de 2ଷ଴଴଴ par 7 est 1. 2ସ଴ଵହ= 2ସ଴ଵସାଵ= 2ଷ×ଵଷଷ଼ାଵ−2 + 2 = (2ଷ×ଵଷଷ଼ାଵ−2) + 2 . d’où le reste de la division euclidienne de 2ଷ଴଴଴ par 7 est 2. 2ଵ଴ଶହ଴= 2ଷ×ଷସଵ଺ାଶ−4 + 4 = (2ଷ×ଷସଵ଺ାଶ−4) + 4 d’où le reste de la division euclidienne de 2ଷ଴଴଴ par 7 est 4. ࡱ࢞ࢋ࢘ࢉ࢏ࢉࢋ૝ 1) On a ∶ ∑ p୧= 1 ଺ ୧ୀଵ ⇒ p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1 ⇒a + 3p6 + a + a + a + p6 = 1⇒ 4ܽ+ 4݌6 (1) p(A) = b ⇒pଷ+ p଺= b or pଷ= 3p଺ ⇒ 4݌଺= ܾ donc (1) ⇒4ܽ+ ܾ= 1 (2) p( B തതത) = 1 − ଷ ସ⇒pଵ+ pଶ= ଵ ସ⇒2a = 3 4 ⇒ a = ଵ ଼ donc (2) ⇒ b = 1 −4 × ଵ ଼= ଵ ଶ . D’où a = ଵ ଼, b = ଵ ଶ et ݌଺= ଵ ଼ 2) soit q la probabilité d’obtenir un nombre impaire. On q = p1 + p3 + p5 = 1 8 + 3 8 + 1 8 = 5 8 ࡱ࢞ࢋ࢘ࢉ࢏ࢉࢋ૞ rang des deux boules blanches I) ● ݌(ܣ) = ହ ଽ× ହ ଽ× ସ ଽ× ܥଷ ଶ= ଷ଴଴ ଻ଶଽ ● ( B « 3 B ou 3R » ) ݌(ܤ) = 5 9 × 5 9 × 5 9 + 4 9 × 4 9 × 4 9 = 189 729 B, B, B, B, B R, R, R, R Divisible par 7 Divisible par 7 Divisible par 7 Divisible par 7 ● Soit l’événement ܦ ത ത ത ത« n’obtenir aucune boule rouge » On a ݌( ܦ ത ത ത ത) = 53 93 = ଵଶହ ଻ଶଽ ⇒݌(ܦ) = 1 − ଵଶହ ଻ଶଽ= ଺଴ସ ଻ଶଽ . II) 1) a) E1 « seule la première boule est blanche ». ݌(ܧଵ) = ݌(ܤܴܴ) = ହ ଽ× ସ ଼× ସ ଼= ହ ଽ× ଵ ସ= ହ ଷ଺ E2 « seule la 2ème boule est blanche. ݌(ܧଶ) = ݌(ܴܤܴ) = ସ ଽ× ହ ଽ× ସ ଼= ଵ଴ ଼ଵ E3 « seule la 3ème boule est blanche. ݌(ܧଷ) = ݌(ܴܴܤ) = ସ ଽ× ସ ଽ× ହ ଽ= ଼଴ ଻ଶଽ b) La probabilité d’obtenir une seule boule blanche est ݌(ܧଵ∪ܧଶ∪ܧଷ) Or les évènements ܧଵ,ܧଶ ݁ݐ ܧଷ sont incompatibles, donc ݌(ܧଵ∪ܧଶ∪ܧଷ) = ݌(ܧଵ)+ ݌(ܧଶ) + ݌(ܧଷ) = ହ ଽ×ସ+ ହ×ଶ ଽమ+ ସమ×ହ ଽయ = ହ×ଽ² ଽయ×ସ+ ହ×ଶ×ସ×ଽ ଽయ×ସ + ସమ×ହ×ସ ଽయ×ସ= ଵ଴଼ହ ଶଽଵ଺≅0,37 1) Soit ݍ௡ la probabilité de ne tirer aucune boule blanche en n tirage c'est-à-dire toutes les boules tirées sont rouges. D’où ݍ௡= ସ ଽ× ସ ଽ× … .× ସ ଽ= ቀସ ଽቁ ௡ d’où ݌௡= 1 −ቀସ ଽቁ ௡ . Fin ݊ ݂݋݅ݏ uploads/Management/ devoir-de-controle-n03-avec-correction-math-3eme-math-2009-2010-mr-hafsi-salem.pdf