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Probabilités et Statistiques Otheman Nouisser Ecole Nationale de Commerce et Ge

Probabilités et Statistiques Otheman Nouisser Ecole Nationale de Commerce et Gestion Kénitra 20 septembre 2012 Otheman Nouisser ENCG-Kénitra Plan 1. Chapitre I : Analyse Combinatoire. Dénombrement 1. Chapitre II : Calcul des probabilités 2. Chapitre III : Variables Aléatoires 3. Chapitre IV : Lois usuelles de Probabilités Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo Introduction Exemple Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 boules blanches, 6 boules noires. On tire simultanément du sac 3 boules. Calculer la probabilité d’avoir : 3 boules blanches. des boules différentes. Les boules sont indescernables, les tirages sont équiprobables. Pour calculer la probabilité il faut d’abord calculer : Le nombre de tirages possibles de 3 boules parmi 10 : Cas possibles. Le nombre de tirages de trois 3 boules blanches parmi les 4 : cas favorables. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo Chap I : Analyse Combinatoire. Dénombrement Déﬁnition L ’analyse combinatoire est le développement de quelques techniques permettant de déterminer le nombre de résultat possibles d’une experience particulière. Elle permet de recenser les dispositions qu’il est possible de former à partir d’un ensemble donné d’éléments. une disposition est un sous ensembles ordonnées ou non d’un ensemble. Les techniques de dénombrements sont utiles pour le calcul de probabilité des événements équiprobables. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo I- Principe multiplicatif Soit une expérience qui comporte 2 étapes : la 1ère qui a p résultats possibles et chacun de ces résultats donne lieu à q résultats lors de la 2ème étape. Alors l’expérience a p × q résultats possibles. Autrement dit : Le principe multiplicatif peut s’énoncer ainsi : si un événement A peut se produire de p façons et si un événement B peut se produire de q façons, la réalisation de A suivie de B peut se produire de p × q façons. Remarque - Si chacune des étapes d’un choix séffectue avec chacune des autres, on applique alors la règle de multiplication. Par contre, - Si un choix peut peut se faire ou bien d’une façon ou bien d’une autre, on applique la règle d’addition. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo I- Principe multiplicatif Conséquence Si une expérience consiste à répéter n fois de façons indépendantes une même expérience qui a p résultats possibles, alors on a pn = p × p × p · · · × p( n fois) résultats possibles. Exemple Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rouge et une verte. On effectue deux tirages successifs avec remise. Combien y-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a 4 × 4 = 16. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo I- Principe multiplicatif Conséquence Si une expérience consiste à répéter n fois de façons indépendantes une même expérience qui a p résultats possibles, alors on a pn = p × p × p · · · × p( n fois) résultats possibles. Exemple Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rouge et une verte. On effectue deux tirages successifs avec remise. Combien y-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a 4 × 4 = 16. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo I- Principe multiplicatif Exemple Jacques arrive au restaurant. Il désire prendre un repas complet (c’est à dire un potage, un plat de résistance, un légume, un dessert et une boisson). On lui présente un menu à la carte offrant un choix de 6 potages, 4 plats de résistance, 3 légumes, 5 desserts et 8 boissons. Combien de repas complets différents jacques peut-il composer ? Ici, la composition d’un repas complets suppose un choix de potage avec un choix de plat de résistance avec un choix de légume avec un choix de dessert avec enﬁn un choix de boisson. Pour calculer le nombre de repas complet qu’il est ainsi possible de composer, on utilise le principe de multiplication. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo I- Principe multiplicatif Illustration de la règle de multiplication Souvent lorsque on a un problème qui fait appel à la règle de multiplication, on en présente la solution à l’aide de cases adjacentes à l’intérieure on inscrit le nombre de possibilités pour chacune des étapes de choix. Ainsi dans notre exemple on a : 6 4 3 5 8 - on a effectué 5 choix successifs. - Ces choix s’effectuent les uns avec les autres. - Il existe 6 façons d’effectuer le premier de ces choix. - 4 façons pour le deuxième, - 3 façons pour le troisième, - 5 façons pour le quatrième et - 8 façons pour le cinquième ; enﬁn, le nombre total de possibilités de repas correspond au produit des nombres qu’on retrouve dans chacune de ces cases, à savoir :6 × 4 × 3 × 5 × 8 = 2880. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo I- Principe multiplicatif Exemple Jacques vient au restaurant pour prendre une collation ( c’est-à-dire ou bien un potage, ou bien un sandwich, ou bien un dessert). On lui présente un menu offrant un choix de 5 potages, 7 sandwiches et 4 desserts. Combien de collations différentes peut-il choisir ? Dans ce cas-ci, comme jacques doit effectuer son choix de la façon suivante : P ou bien S ou bien D P1 ou P2 ou · · · P5 ou S1 ou · · · S7 D1 ou · · · D4. On doit faire appel à la règle d’addition pour calculer qu’il a 5 + 7 + 4 = 16 possibilités de collations différentes. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo II- Permutations Déﬁnition Une permutation de n éléments distincts est une disposition ordonnée de ces n éléments. Exemple Considérons 4 personnes qui prennent places successivement sur un bac à 4 places. Combien de dispositions ordonnées (c.à.d permutations) existe-t-il ? Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo II- Permutations - La première personne a le choix entre 4 places = ⇒4 dispositions possibles pour cette personne. - La deuxième personne n’a le choix qu’entre 3 places = ⇒4 × 3 dispositions possibles pour ces deux personnes. - La troisième personne n’a le choix qu’entre 2 places = ⇒4 × 3 × 2 dispositions possibles pour ces trois personnes. - La quatrième personne n’a le choix qu’entre une seule place = ⇒ 4 × 3 × 2 × 1 dispositions possibles pour ces personnes. Ainsi, le nombre de dispositions ordonnées (permutations) est donc : P4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo II- Permutations Théorème Le nombre de permuations de n éléments distincts noté Pn est donné par : Pn = n(n −1)(n −2) · · · × 3 × 2 × 1 = n!. Preuve. Soit n éléments a1, a2, · · · , an. a1 : on peut le mettre dans n’importe qu’elle case, donc on a n possibilités. a2 : on peut le mettre dans n −1 cases, donc il y a n −1 possibilités. . . . an : on peut le mettre dans une case, donc une seule possibilités. D’où il y a n(n −1) · · · 2 = n! dispositions ordonnées. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo II- Permutations Exemple 1- Donner le nombre des permutations qu’il est possible de former avec les éléments a, b, c. 2- Une étudiante a reçu 5 livres différents en cadeau. De combien de façons peut-elle les disposer entre des appuis-livres ? L ’étudiante doit simplement disposer ses livres différents l’un à coté de l’autre., c.à.d., une permutation de 5 éléments. Ainsi le nombre de dispositions est le nombre de permutation qui égale à 5!. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition Echantillonage Notion sur la théo II- Permutations Exemple 1- Donner le nombre des permutations qu’il est possible de former avec les éléments a, b, c. 2- Une étudiante a reçu 5 uploads/Management/ cours-proba-complet-s3-pdf-pdf-version-1.pdf