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Classe de TS 27 janvier 2012 Devoir de Sp´ ecialit´ e Math´ ematiques N o 5 (1

Classe de TS 27 janvier 2012 Devoir de Sp´ ecialit´ e Math´ ematiques N o 5 (1 heure) 1 Les cinq questions sont ind´ ependantes. Pour chaque question une aﬃrmation est propos´ ee. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justiﬁant la r´ eponse. Une r´ eponse non justiﬁ´ ee ne sera pas prise en compte. Toute justiﬁcation compl` ete sera valoris´ ee. Question 1 On consid` ere l’´ equation (E) : 2x + 11y = 7, o` u x et y sont des entiers relatifs. Aﬃrmation Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k−2 ; −4k+1), avec k appartenant ` a l’ensemble Z des entiers relatifs. Question 2 On consid` ere l’entier N = 112 011. Aﬃrmation L’entier N est congru ` a 4 modulo 7. Question 3 a et b sont deux entiers relatifs quelconques, n et p sont deux entiers naturels premiers entre eux. Aﬃrmation a ≡b (p) si et seulement si na ≡nb (p). Question 4 Aﬃrmation : Si un entier naturel n est congru ` a 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n + 4 et de 4n + 3 est ´ egal ` a 7. Question 5 Soient a et b deux entiers naturels. Aﬃrmation : S’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 2 alors le PGCD de a et b est ´ egal ` a 2. 2 1. On consid` ere l’ensemble A7 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} a) Pour tout ´ el´ ement a de A7 ´ ecrire dans le tableau ﬁgurant en annexe 2 l’unique ´ el´ ement y de A7 tel que ay ≡1 (modulo 7). b) Pour x entier relatif, d´ emontrer que l’´ equation 3x ≡5 (modulo 7) ´ equivaut ` a x ≡4 (modulo 7). c) Si a est un ´ el´ ement de A7, montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’´ equation ax ≡ 0 (modulo 7) sont les multiples de 7. 2. Dans toute cette question, p est un nombre premier sup´ erieur ou ´ egal ` a 3. On consid` ere l’ensemble Ap = {1 ; 2 ; . . . ; p −1} des entiers naturels non nuls et strictement inf´ erieurs ` a p. Soit a un ´ el´ ement de Ap. a) V´ eriﬁer que ap−2 est une solution de l’´ equation ax ≡1 (modulo p). b) On note r le reste dans la division euclidienne de ap−2 par p. D´ emontrer que r est l’unique solution x dans Ap, de l’´ equation ax ≡1 (modulo p). c) Soient x et y deux entiers relatifs. D´ emontrer que xy ≡0 (modulo p) si et seulement si x est un multiple de p o` u y est un multiple de p. d) Application : p = 31. R´ esoudre dans A31 les ´ equations : 2x ≡1(modulo31) et 3x ≡1 (modulo31). ` A l’aide des r´ esultats pr´ ec´ edents, r´ esoudre dans Z l’´ equation 6x2 −5x + 1 ≡0 (modulo 31). uploads/Management/ devoir-de-revision-n05-lycee-pilote-avec-correction-math-bac-mathematiques-2015-2016-mr-amine-touati.pdf